经典力学中的奇点

weixin

　　黑洞照片问世，着实让全人类高潮了一把。其实我觉得，人类的心情是有点复杂的。一方面，我们为终于看到黑洞而欢呼，另一方面，黑洞作为一种理论上的极限竟然真的存在于宇宙之中，这不禁让我们的思绪有点没着没落，虽然我们嘴里天天喊着黑洞黑洞，但当它真的出现的时候，我们难免有点叶公好龙的心态，原来这世界真的有超越我们经验的事物，人类的智识，我们又该何处安放?

　　不过事实上，奇点其实并非只存在于广义相对论中，在许多数学领域中都有它的身影，现在我们已经可以坦然接受奇点是超出理论适用范围的存在，但在科学家最初遭遇奇点的时候，他们是不信邪的，于是一些奇怪的论断便应运而生了。甚至在奇点问题上，绝对的大神级人物欧拉也翻了车，而他所遇到的便是经典力学中的奇点。

　　我们知道，在经典力学中，为了方便，我们往往借助假想的质点来考虑问题，这个质点是一个没有体积也没有形状的几何点。根据牛顿力学定律，我们现在做这样一个假想，在空间中，有一个固定的质点O，这个O是一个引力中心，而与之相对的是另一个质点P，二者的距离是r，那么O 对P 所施加的引力就与r 的平方成反比，这就是所谓的平方反比定律。可见，在r≠0的时候，这个定律是成立的，但是当r=0时，点O 便是奇点所在的位置，我们可以把它视作一个一维空间中的点状黑洞。

　　虽然在这里我们将O 视为抽象的纯粹几何点，这个点上不存在任何物质实体，在真实世界中这是不可能存在的，但这并不妨碍我们考虑这样一个数学问题，那就是P 在O 的引力作用下，究竟是如何运动的。

　　P点向O点运动

　　关于这个问题，牛顿在《自然哲学之数学原理》中已经给出了一个模型，牛顿认为，假设在某个给定的时刻，P 在O 点之外运动，速度不为0，且不在直线OP 方向上，那么P 将会沿抛物线或双曲线运动，抑或者以椭圆轨道围绕着O 旋转，比如行星就是这样围着太阳运动的。在这三种情形中，O 都是圆锥曲线的焦点。不过牛顿他并没有考虑这样的情况，那就是当P 在O 以外以初速度0释放时，它会沿着直线OP 直接落向点O。计算显示，P 会在有限时间内到达点O，此时它的速度会增加到无穷大。

　　于是问题来了。当P 到达O 之后会发生什么呢?一方面，P 似乎只能越过点O 沿着线段PO 的延长线继续运动，因为此时运动速度是无限大的，它怎么可以停下来呢?但另一方面，随着P 不断地接近O，它受到点O 的引力也在不断增大，而当P 点到达O 点时，引力会增长到无穷大，这时P 就无法从O 中逃逸出来。那么无穷大的速度与无穷大的引力，究竟谁会战胜对方呢?

　　对于这一悖论，牛顿到底想没想，《自然哲学之数学原理》并没有告诉我们，但我相信以牛顿的智商，他肯定想到了这个奇点的存在，不过牛顿多狡猾，谁有兴趣谁研究去。牛顿说：我就是个搞娱乐节目的，没必要凡事儿都说的那么清，反正事儿就是这么个事儿，装懂就行了，你们不懂的我也不懂。这就是我们从牛顿身上学来的逃避大法。

　　不过，牛顿自己虽然不研究，但问题毕竟已经出现了，牛顿心大不代表所有人都没心没肺，关键是如果把这个问题解决了，那就厉害了，因为这是牛大爷都未曾解决的问题。首先向这一奇点发出冲击的是法国数学家达朗贝尔。达朗贝尔认为，这个问题不存在什么疑问，答案是P 会越过O 并不断远离，直到P 与O 之间的距离与开始运动时的距离相等。之后，P 将重复这个过程，不断振荡。理由是什么，达朗贝尔认为这不需要理由，这就是公理，因为在他眼中，只要速度无限大，就没有不能逃脱的，至于引力无限大，没办法，老夫就是这么任性。

　　达朗贝尔

　　达朗贝尔认为的P 点的轨迹

　　就在达朗贝尔研究这一问题的同时期，大神欧拉也出手了。欧拉最擅长的事情就是让人眼前一亮，比如说他会推导出一大堆不知道高到哪里去的公式，也会把一个乱七八糟的问题，精炼为一个表达极为直观、清晰的问题，然后留着折磨后世的数学家，比如说哥德巴赫猜想就经过了欧拉的回炉重造。但是在经典力学的这个问题上，欧拉给出的答案着实令人匪夷所思，他认为，当P 到达O 的时候，P 会掉头往回走。当然了对于欧拉来说，这个结论虽然是反直觉的，但却是经过严密推理产生的。欧拉假设P 在以O 为焦点的椭圆上运动，在初始的时候，P 是椭圆长轴的一个端点，另一个端点我们暂时视作P1。如果垂直于OP 的速度不断减小至0，那么椭圆就会不断变扁，直到最后变成一条直线，同时，P1也会不断接近焦点O，直到最后与O 重合。就这样，通过把轨道的几何形状和点P 的运动速度推向极限，欧拉得出了这个奇特的理论。甚至由此，欧拉还赋予了引力中心一个斥力，但这显然是不可能的。

　　欧拉认为的P 的轨迹

　　可见，无论是达朗贝尔还是欧拉，两种截然相反的观点都并没有将经典力学中的奇点问题解决。于是，调和者出现了，这就是法国科学巨匠拉普拉斯。1799年，拉普拉斯提出了他的观点。我们现在来看看他的原话：“朝向焦点的直线运动与被压扁到极限的椭圆轨道上的运动，有着本质的区别。在前一种情况下，物体会越过焦点，然后飞到和起始位置同样远的地方;在后一种情况下，物体会经过焦点，然后回到起始点”。看到没，拉普拉斯就这样为我们生动地诠释“老好人”的定义，在他这里，达朗贝尔是对的，欧拉也不错，最后等于什么都没说。那么拉普拉斯到底支持谁呢?其实他是支持达朗贝尔的。因为他发明了一个很有意思的概念，这就是“无穷扁的椭圆”，它虽然无穷扁，但却没有被彻底压扁，这是一种我们能想象到的最扁的椭圆，但毕竟不是欧拉所谓的线段。

　　除了拉普拉斯之外，法国数学家蒙蒂克拉也站出来对欧拉批判了一番。蒙蒂克拉认为，这种运动其实是一种极限状况下的椭圆运动，不过点P 不过越过O，也不会回头，而是会停下来。蒙蒂克拉的结论，其出发点很简单，他认为，在P 不断靠近O 的过程中，力与r 的平方成反比，而P 的速度则与根号r 成反比，也就是说，速度要比力增长得慢得多。如此一来，在点O 处引力与速度的较量中，引力就占据了上风，P 就停了下来。这个观点，可以说在当时，比欧拉的更加让人难以接受，人家欧拉的结论虽然反直觉，但P 毕竟还在运动，但在蒙蒂克拉这里，你别管谁增长的快谁增长的慢，无穷大的速度突然就变成0了，这怎么可能?

　　蒙蒂克拉

　　这样一来就清楚了，达朗贝尔有拉普拉斯的支持，欧拉和蒙蒂克拉完全不知道说的啥，于是经过这样一番折腾，达朗贝尔的观点就在日后很长一段时间中占据了主流观点。

　　不过，虽然这几个大数学家玩儿的很开心，但事实上，这些理论在天文学家眼中完全就是扯淡，因为它完全没有任何实用价值，人们又回到了逃避问题的状态，既然牛大爷都解决不了，欧拉、达朗贝尔也含糊其辞，我们普通人就不要想太多了。那么这个问题的最终答案是什么呢?

　　1930年，曾经两度出任法国总理的数学家保罗-潘勒韦，终于给出了正确答案，这就是：这根本就不是个问题。所以不用讨论了。潘勒韦指出，对于以无穷大的速度到达引力中心的运动质点，在到达的这一瞬间之后，问题就无法继续讨论下去了，因为经典力学已经失效了。所以对于这一问题，点必须在引力中心停止，而所有对于此后运动情况的猜测都不具有科学价值。原因很简单，经典力学不允许质点的轨迹穿过一个速度和受力都无法定义的点。这个点它有问题，它不确定，所以它不能充当一个确定的质点之后运动轨迹的初始条件。这个奇点就像是宇宙中的黑洞，最终会吸收掉质点，在此之后，如果没有新的理论，而仅仅依靠原有的理论，我们将一无所知。而不论是欧拉，还是达朗贝尔，他们都没有意识到，他们预测质点之后的运动，其实是在企图让质点重生，但经典力学是无法做到这一点的。

　　潘勒韦

　　当然了，经典力学中的奇点与宇宙中的奇点相差甚大，但不论是哪一种，它们都告诉我们，我们的理论到达了极限。如果想要知道质点到达引力中心后会发生什么，以及黑洞的内部在发生什么，我们就一定需要新的理论，而这正是推动人类文明发展的动力，或许新的理论会与我们固有的认知产生强烈的冲突，但如果所有的矛盾，都消失殆尽，那么世上一定会多出许多，向往矛盾的声音。

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