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[其他相关] 科普 | 自行车轮之神奇

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发表于 2019-11-14 14:42 | 显示全部楼层 |阅读模式

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自行车拐弯时,车身倾斜可以不倒。这个现象大家大概都知道,其原理很多人可能在书上看过。今天在网上看到了一个视频,把相关的物理展示得更为明显,更加令人感到神奇。把自行车轮子转动起来,达到相当高的转速,然后用一根绳子吊着自行车轴的一端,转动的轮子居然保持了横在空中重心悬空。如果轮子不是转动的,结果我们都知道,轮子会倒翻过去,为什么转动的轮子能这样悬着呢?
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上图中,如果把车轴与辐条作为一个系统,以栓绳子那端为中心,它受到了车轮重力产生的力矩。但车轴-辐条系统上的总力矩显然是零,否则没法横着,而是会倒下。那么,这个抵消重力力矩的反向力矩怎么来的呢?

对于上述问题,物理课本里的解释用到角动量、力矩等概念。轮子如上图这样悬着,重力对系统产生的力矩按右手法则计算,方向是水平向外,轮子角动量是水平向左,力矩使轮子转轴在水平面上进动,而不是倒下。我们说,对于这个车轮,重力产生的力矩使其角动量方向不断变化。这是一个课本的说明,但这个说明却没有直观地解释车轴-辐条上的力矩是怎么抵消的。

在网上看到有人在讨论这个问题,大家都觉得费解。对此,我之前也没有仔细思考过。下面,我试图对此进行直观分析,假定我不知道角动量,只具备初中物理(也就是知道向心力、与力矩的平衡),怎么解释?

为了简化问题起见,我把轮子的轮圈换成四个质量为m 的质点。如下图,轮子半径为R,轴长为L。
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从O点计算,车轴-辐条系统受到重力产生的力矩为4mgL ,方向是使轮子倒下。现在我们考虑自转+进动的轮子,从O看以角速度为ω 逆时针转动;同时从上面朝下看,车轴在以角速度Ω 逆时针在水平面转动。四个质点正好处于图中的位置。现在我们用牛顿第二定律看看情况如何。

从上面朝下看,球1的速度是ωR+ΩL, 球3的速度却是−ωR+ΩL,方向水平。球2和球4的速度都是ωR,方向垂直。根据牛顿第二定律,球1、球3绕绳子的向心力分别是
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小球受到的向心力来自辐条,小球对辐条的反作用力大小相等方向相反。由于球1与球3的向心力不同,其反作用力产生的力矩无法抵消,其总力矩为:
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很好,我们算出了轮子进动时小球对车轴-辐条系统的力矩。为了使轮子悬着,我们要求车轴-辐条系统上的总力矩为零
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由此解出:
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前面这个负号说明,进动方向从上面看应该是顺时针的。

上述结果说明,如果整个系统绕绳子转动,可以产生一个抵消重力的力矩,而且轮圈自转越快,这个整体转动需要的速度越小。有了这个简单的物理图像,我们可以对轮圈进行计算在进动时小球反作用力产生的力矩,具体的计算需要把轮圈切成小块然后求和,我列在文末注解中。

至此,我们用牛顿定律与初中力学概念找出了轮子不倒的答案:当车轴在水平面转动时(进动),由于轮子上部的速度跟下部的速度相反,轮子整体进动时,上下部分的水平速度一个相加、一个相减,因而大小不同,向心力也不同,这样它们在辐条上的反作用力就产生了一个力矩,在适当的进动角速度下,这个力矩可以抵消重力的力矩,而使轮子能够重心悬空。

当然,以上结果跟用角动量方程得出的完全一致。由上面的推导也可以看出角动量概念的巧妙。从数学上,角动量方程只是在牛顿方程两侧用叉乘,但把方程一叠加,可以消去了所有内力的贡献。对于像上述轮子的问题,内力相当复杂,如果直接用牛顿定律分析相对麻烦,用角动量则很简单。

注:轮圈进动时力矩的计算
设轮圈单位长度的质量为lambda,我们计算其总力矩
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其中,M 为轮圈质量。

上面的计算中很明显,正弦的三次方与一次方积分结果是零,只剩那个交叉项。整个结果与之前的完全一致。更一般的情况当然可以更一般的计算。牛顿第二定律F=dp/dt,力等于动量的变化率。两边用位置向量叉乘,则力矩等于角动量的变化率。从这里可以看出,角动量概念的妙处——直接把内力的各种贡献抵消了。

有读者可能会问,轮子起始的时候只是自转,没有进动,为什么挂到绳子上后开始进动了呢?

这是因为轮子在没有进动时,开始会倾斜倒下,但在倒下的过程中,由于上面类似的原因,产生了一个力矩使轮子开始进动,方程如下
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其中,ϕ 为轮轴跌下的角度,I1 为轮圈绕垂直轴的转动惯量,I3 为自转转动惯量。

因此
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来源:珍珠湾全球网,作者:岳东晓。

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