达芬奇的力学研究

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达芬奇全名莱昂纳多·迪·皮耶罗·达·芬奇，意大利语：Leonardo di ser Piero da Vinci。生于1452年，卒于1519年，他的画作，如《蒙娜丽莎的微笑》《最后的晚餐》《维特鲁威人》等等为世人所熟知，它们与达芬奇的名字一起与欧洲文艺复兴紧密的联系在一起，成为文艺复兴的重要符号。

达芬奇素描：维特鲁威人（维基百科）

维特鲁威古罗马工程师，著有《建筑十书》，因当时建筑没有统一标准，他提出按照人体的比例设计，并总结出了人体结构的比例规律。达·芬奇为此书写了一部评论，这是该书的插图

但是，达芬奇的成就远不只是画作，他在音乐、建筑、数学、力学、几何学、解剖学、生理学、天文学、气象学等等，几乎你能够想到的所有领域都有显著的成就，他的研究成果大多没有正式发表，都保存在他的手稿中，大约有15000页（一说13000页）。爱因斯坦曾说：达·芬奇的科研成果如果在当时就发表的话，科技可以提前半个世纪。

达芬奇研究手臂运动的手稿（维基百科）

你或许想不到，达芬奇很可能是利用实验手段系统研究材料强度的第一人（伽利略采用了解析法）。我们知道，作为画家，达芬奇完成的画必须悬挂起来让人欣赏，当时就有一些挂画的铁丝发生断裂的现象，就这样他对铁丝的断裂特性产生了浓厚的兴趣。为了研究铁丝的断裂强度，达芬奇设计了下图所示的试验方案，并写下了这样一段话：

这个试验的目的是要求出一根铁丝所能负担的荷重。将长度为2布拉西亚（Braccia，意大利长度单位）的一根铁丝，一段连接于能坚固地承重的物体上，另一段吊住一只篮子或其他类似的容器，经过一只漏斗端部的小孔将细砂倒入篮中。另外装上一只弹簧，使在铁丝断裂时立刻把小孔塞住。因为篮子掉下来的距离很短，所以掉下时不致翻转过来。将砂子重量和铁丝断裂的位置都记录下来。这样重复地试验若干次以校核其结果。然后再用先前一半长度的铁丝来试验，将所能增加的荷重记录下来；以后又用四分之一长度的铁丝来试，以此类推。每次都记下极限强度和断裂的位置来。

达芬奇设计的铁链受拉实验《材料力学史》

经过试验，达芬奇得到结论：长铁丝比短铁丝更容易发生断裂。我们知道，构件断裂主要是因为应力超过了强度极限，实际上应力的计算与构件长度无关，那么，达芬奇为什么会得到长铁丝更容易发生断裂的结论呢？

这是因为大多数构件都会不可避免的存在微观缺陷（达芬奇时代估计更加明显），一旦铁丝含有缺陷，势必会导致承载铁丝中产生应力集中，这就大大增加了铁丝发生断裂的可能性。由于长铁丝中无论是缺陷发生概率和还是缺陷数量都大于短铁丝，因此长铁丝也就比短铁丝更容易发生断裂。

达芬奇还系统研究了梁的强度问题，并得到了一个普遍性的原理：任何被支撑而能自由弯曲的物件，如果截面和材料都均匀，则距支点最远处，其弯曲也最大。达芬奇建议了一系列有关梁的试验。如对于简支梁，他研究了梁的长度和宽度对梁承载能力的试验。他的结论是：简支梁的强度与其长度成反比，而与其宽度成正比。

用简支梁受集中载荷验算达芬奇结论

如果我们用矩形截面梁来验证达芬奇的结果，如上图所示简支梁在梁中点受集中载荷F，则中点弯矩最大，为

梁上最大应力的求解公式为

其中，M 为弯矩，与梁上施加的集中力成正比；ymax 表示梁上的点距离中性轴最远点的坐标；I 为截面惯性矩，用b 表示梁宽，h 表示梁的高度，梁的截面惯性矩为

把中点弯矩最大公式和梁的截面惯性矩公式代入中点弯矩最大式中，得

这就验证了达芬奇得出的“强度与其长度成反比而与其宽度成正比”的结论的。达芬奇没有讨论梁高h 对强度的影响，这可能是强度与高度h 的关系相比于强度与宽度b 的关系要复杂，当时又缺乏精确测量的条件，因此达芬奇避开了对高度影响的讨论。

达芬奇在研究悬臂梁的强度时给出了一个结论：如果一根长为2布拉西亚的梁能负载100里布列（Libbre，意大利质量单位），则另一根长1布拉西亚的梁便能负载200里布列。短梁较长梁短若干倍，它能负载的荷重也较长梁所能负载的荷重也会增加若干倍。

用简支梁受集中载荷验算达芬奇结论

这一结论也可以简单的验证，如上图所示，对于悬臂梁最大弯矩发生在梁的固定端，根据梁上最大应力求解公式求出最大应力为

可见对于悬臂梁承载力仍然与梁的长度成正比。

在达芬奇的手稿中，还可以发现一些有关立柱强度的研究，他说明了柱（压杆）的强度是和其长度成反比而与其横截面的某些高宽比成正比。根据压杆失稳的欧拉公式：

达芬奇说“压杆强度与横截面的某些高宽比成正比”很可能已经意识到了压杆失稳问题，某些高宽比，可能就是说明压杆强度需要寻找Imin。而“强度与长度成反比”是错误的，应该是与长度的平方成反比。

1502年，奥托蒙统治者苏丹贝耶齐德二世要求设计一座连接君士坦丁堡（今天的伊斯坦布尔）和邻近地区加拉塔的桥梁。达芬奇想出了一种新颖的桥梁设计，他在给苏丹的一封信中对它进行了描述，并在笔记本上画下一副小草图，如下图所示。

达芬奇的单拱桥（百度搜索）

达芬奇提出了桥台向两边展开的设计方案来防止横向运动，横向运动导致了几个世纪以来许多桥梁的倒塌。这座桥原本约为1201英尺（约366m），79英尺（约24m）宽（数据来源维基百科），如果建成的话，将成为当时世界上跨度最长的桥，其跨度几乎是当时普通桥梁的10倍。巴耶塞特二世认为无法建设如此大跨度的桥梁而未能施行。

1996年，挪威艺术家威卜琼·山得 (Vebjørn Sand) 看到达芬奇的设计后，就希望能够将其变成现实。2001年，一座横跨E18高速公路的达芬奇桥梁 (da Vinci Bridge) 诞生了，此后世界各地陆续建成了其它的达芬奇桥梁。

挪威达芬奇大桥（人行桥）（百度搜索）

达芬奇对于建筑结构的研究，很可能使他较早的认识到了拱结构中两端存在的推力。在他的手稿里，有一张类似于拱受力的杆系结构受力草图，如下图所示。在杆件上面作用一垂直荷载Q，在画出该受力图后，达芬奇提出了一个问题：“在a 及b 处要加上怎样的力，才能使杆系保持平衡？”铁木辛柯根据草图中所画的虚线平行四边形，断言他在这个问题上已经得出了正确的答案。

达芬奇有关杆系结构的研究草图《材料力学史》

1586年，静力学奠基人斯蒂文出版《静力学原理》，利用下图所示的尖劈给出力的平行四边形法则，但达芬奇的杆系结构受力图中已经画出了平行四边形，难道达芬奇已经明白了这一法则？但是达芬奇是比斯蒂文早1个世纪的人（斯蒂文生于1548年，达芬奇生于1452年）。

斯蒂文的尖劈（1586年）（维基百科）

铁木辛柯还发现达芬奇利用力矩法求解了下图所示两个问题的正确解，但没有解释两个问题的背景。从图中的结构看，似乎是这么两个问题：图(a)中，水平线表示杆件，Q 处是一个定滑轮，力Q 通过滑轮拉出水平杆，P 作用在杆的另一端，水平杆在该力系下保持平衡；图(b)中，载荷P 作用处为小球，A 为固定端约束，Q 为拉力，类似于小球一端用绳子拴在固定约束端，再用Q 力在斜方向拉起，这很容易演示力的平行四边形法则。根据铁木辛柯的描述，这两个问题是达芬奇利用力矩平衡来求解的，或许阿基米德早在公元前3世纪提供的杠杆力矩平衡的例子就是达芬奇的研究基础。

达芬奇求解的两个平衡问题《材料力学史》

前面对达芬奇在静力学上的研究进行了梳理，在流体力学上也有非常突出的贡献，如他最早提出了“湍涡”的概念，并领先雷诺近400年提出了有关涡旋的雷诺分解思想，深入研究了飞行力学、水的波动行为，以及风暴的运动规律。还提出了水流体积不变性，发现了连通器原理并发明了千斤顶等（这部分请参见陈光耀、杨绍琼、姜楠等人的文献）。

达芬奇对于力学的兴趣别具一格，他曾在手稿中写道：“力学是数学的乐园，因为我们在这里获得了数学的果实”。呵呵~ 我以为他除了画画以外，还对力学感兴趣，原来他对力学感兴趣是为了对数学感兴趣。如果你愿意多了解一下达芬奇，你会发现他的兴趣已经成为了无数的嵌套结构。从一个领域引出另一个领域，另一个领域又带出再一个领域，正是这些广泛的兴趣使他可以在绘画、音乐、建筑、数学、力学、几何学、解剖学、生理学、天文学、气象学等，几乎你所能想到的一切领域内做出杰出的贡献（这部分请参见：看点画报《达芬奇：不会解剖人体的军事工程师不是好艺术家》）。

我们已经分不清楚达芬奇是从哪个领域中得到灵感，这种灵感又影响了哪个领域的创新。牛人往往就是这样，他的“牛气”绝不仅仅表现在一个方面，而是在方方面面。艺术史学者海伦·加德纳评论达芬奇说：“他的兴趣到达了一个前所未有的范围和深度”。大概正是这种方方面面的兴趣才能丰富一个人的思维，也正是这种方方面面的兴趣，才能带来了不同领域的灵感，所谓的创新在他那里只不过是一种简单的体力劳动！

主要参考文献：

[1] 常振擑[译],铁木辛柯[著].材料力学史.上海科学技术出版社.

[2] 武际可.斯蒂文的尖劈.伟大的实验与观察.高等教育出版社.

[3] 符松.湍流──达·芬奇的科学追求[J].力学与实践,2000

[4] 陈光耀,杨绍琼,姜楠.达芬奇与流体力学.力学与实践.2019

[5] 看点画报《达芬奇：不会解剖人体的军事工程师不是好艺术家》

[6] 其它百度、维基等百科、及网络资料

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟 太原科技大学。