结构动力学-非线性系统研究

大太阳

动力学中，杜芬系统是一个典型的非线性系统，它可应用在很多工程领域中。当结构进入弹塑性状态时，结构体系不能满足弹性动力方程，这时将结构应当简化成一个非线性模型更符合实际受力状态。传统结构研究中，考虑的是将结构进行等价线性化，然后再将其按照线性体系进行研究，但结果往往是与实际情况相差较大，因而，对非线性体系的研究更具有工程重要的意义。

考虑一个动力学方程，它是如下的自治杜芬振动方程：

该方程表明，对于不受外界激励作用的一个系统，其解应当是不会发生任何振动的情况的值，即速度与位移均是0。如果系统处于某一状态后，撤去外部激励，该时刻速度与位移不全为0，此时，体系受自激的影响，逐渐将趋于稳定的状态，即最终速度与位移均趋近于0。

我们对于它的运动轨迹予以捕捉，假定初始位移与初始速度分别是0和-0.5，对于该微分方程，将它写成伊藤微分的形式，即写成低阶微分方程组，然后用龙格库塔算法进行数值求解。取时间30s，将该时程分成3000步分析，则步长为0.01s。现取c=k=1,三次及五次非线性项系数为0.5，得到的结果如下图所示。

现在我们将参数改变，得到三个速度与位移关系的曲线，得到的结果如下图所示：

从上图我们可以看出，非线性系数对体系的振动影响较小，而线性系数对体系的影响较大，甚至可以改变运动轨迹。在增大线性系数（刚度与阻尼系数）之后，系统将更快趋于稳定，而且速度与位移的幅值也将变小。这表明，大刚度体系可以使得振动幅度更小。

非线性的分析涉及到数值计算，计算效率将会是制约其进行工程推广的关键因素。对于更加高效的计算，非线性分析的研究与发展将还有很大提升空间。