道路载荷谱—信号处理基础知识

always_online

Part 1 信号的介绍
· 信号的概念
信号可以看成是一个信息载体，它能传递物理系统状态或信息，数学上只用一个独立变量表示的信号称为一维信号，用二个独立变量表示的信号称为二维信号，用多个独立变量表示的信号称为多维信号。信号的种类是多种多样的，其分类方法也是多种多样的。

按数学关系分为确定性信号和随机信号
  · 确定性信号：对于指定的某一时刻，有一确定的函数值与其对应，即可以用数学关系描述信号的特征，例如正弦、方波信号等都是确定性信号。确定性信号又可分为周期信号和非周期信号，顾名思义，周期信号与非周期信号的区别就在于其有无随时间变化的重复性。

  · 随机信号：不能用数学关系式描述的信号称为随机信号，即在任意时刻的函数值均不可预知。随机信号又分为平稳随机信号和非平稳随机信号，平稳随机信号的在任意时刻的幅值、频率及相位等虽不可预知，但具有统计规律，而非平稳信号则没有统计特征。


按取值特征分为模拟信号和数字信号
  · 模拟信号是指信号波形模拟着信息的变化而变化，其主要特征是幅值连续，可取无限多个值，时间也连续；而数字信号不仅在时间上是离散的，在幅度上也是离散的，只能取有限个数值的信号。如果送入传输系统的是模拟信号，则这种通信方式为模拟通信，如今所使用的大多数电话和广播、电视系统都是采用的模拟通信方式。如果把模拟信号经过抽样、量化、编码后变换成数字信号后再进行传送，那么这种通信方式就是数字通信。对模拟信号进行时间离散的采样，就得到了数字信号。


按能量功率分为能量信号和功率信号
   能量信号指在分析区间(-∞,+∞)内，信号的能量有限，能量信号f(t)满足条件

   功率信号指在在分析区间(-∞,+∞)内，信号的能量无限大，在这种情况下，研究信号的平均功率更有意义。功率信号f(t)满足条件

   在时间段(t1,t2)内，功率f(t)的平均功率为

一个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具有无限大能量。一般来说，周期信号为功率信号。

  · 信号的描述
描述信号的方法主要有时域描述、频域描述、时频域描述三种
  · 时域描述指建立信号幅值随时间变化的关系，主要用来观察时域信号的波形，不能明确信号的频率成分；
  · 频域描述指用信号的各频率成分的幅值和相位来描述信号，通过频谱分析进行。
  · 时频域描述指以频率为横坐标，时间为斜坐标，频谱的幅值为纵坐标构成的频率-时间-幅值三维显示图形。

Part 2 系统的介绍
系统的三要素为：输入—系统特性—输出

系统分为线性系统和非线性系统，在实际对系统的信号进行分析处理时，一般把系统当作线性系统来看，所以，重点介绍线性系统的三个特性。

  · 叠加性：如下图所示，可简单描述为：多个信号成分叠加而成的组合信号，其输出为各成分信号输出的叠加。

  · 齐次性：当输入信号放大k倍时，相对应的输出信号也放大k倍。

  · 频率保持性：输入为某一频率的简谐波，输出信号也一定是该频率的简谐信号，可归记为“输入中有某一频率成分，输出中必有该频率”反之也成立。这一点性质非常重要，因为在实际测试中，测试得到的信号常常会受到其他信号或噪声的干扰，这时依据频率保持特性可以认定测得信号中只有与输入信号相同的频率成分才是真正由输入引起的输出。同样，在故障诊断中，根据测试信号的主要频率成分，在排除干扰的基础上，依据频率保持特性推出输入信号也应包含该频率成分，通过寻找产生该频率成分的原因，就可以诊断出故障的原因。

Part 3 采样及采样定理
采样即是将连续信号离散化的过程,其具体过程如下图所示:用离散化的离样函数与模拟信号相乘,得到离散的数字信号。

图中Δt的倒数1/Δt称作采样频率，显然，样的过程中一个截断的过程,只是截取某一时间段内的信号进行处理分析。采样过程中最重要是离散后的信号能否从幅值及频率两个方面真实地反映原始的模拟信号。

引入采样定理(奈奎斯特（Nyquist）定理)：数采的采样频率必须为被采集信号频率f 的两倍以上，采样频率的1/2称为Nyquist频率。当采样频率不足时，会出现不能正确反映被采信号特征的情况，通过举例来说明这个定理。

假设所采集的信号的频率为，幅值分别为10mm，信号随时间变化的表达式定义为y=10sin(40пt)对比当采样频率为32Hz（不符合Nyquist定理）及64Hz(符合Nyquist定理)时采集到的信号的情况。

由上图的对比可知，当采样频率不足时，时域图中由于采样点数不够，不能正确完整地表达信号的形状。对采集后的信号作FFT之后发现，当采样频率为64Hz时，采集后的信号频率为20Hz，与原始信号相同，而当采样频率为32Hz时，采集后的信号频率为12Hz，并不是原始信号的20Hz，究其原因，是因为出现了频率折叠：当采样频率不足时，原始信号的频率会以Nyquist频率为对称轴进行折叠。举例中的采样频率32Hz的Nyquist频率为16Hz，原始信号的频率为20Hz，折叠后变为12Hz。

从以上举例可以看出，当采样频率不满足Nyquist定理时，所采集的信号将不能真实反映原始信号，因此为了保证数据准确性，进行数据采集时，需要将采样频率设大，但采样频率过大，数据量也大，将造成数据文件庞大，数据处理耗时等缺点，同时进行频域分析时其频率分辨率也会降低,综合考虑准确性及便利性，一般采样取关注信号频率的8~10倍比较合理。

Part 4 卷积及傅立叶变换
  · δ函数
首先介绍一个特殊函数—单位脉冲函数（δ函数），,其满足以下条件:

单位脉冲函数的脉冲宽度为零,而幅值为无穷大.定义在时间t0时刻的单位脉冲函数

根据脉冲函数的特点可以看出,任何函数与脉冲函数的在区间[-∞,+∞]内的积分等于函数在δ位置处的值。

  · 卷积
卷积用一种听不太懂的说法解释:卷积是通过两个函数x(t)和h(t) 生成第三个函数y的一种数学算子，表征函数x(t)和h(t)经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。

用表达式表示为

或者

卷积的物理意义为:系统的输出y(t)是任意输入x(t)与系统单位脉冲响应h(t)的卷积.

卷积运算的性质及卷积定理
(1)    性质
交换律

分配律

(2)    卷积定理
时域卷积定理：信号时域的卷积的傅立叶变换等于信号两个信号傅立叶变换后的乘积,简单记为时域卷积,频域乘积.它说明两个时间函数卷积的频谱与各个函数频谱的复数乘积相等。
用表达式表示为

频域卷积定理：两时间函数频谱卷积的傅立叶反变换等于两个时间函数频谱分别进行傅立叶反变换的乘积,简单记为时域乘积,频域卷积. 它说明两时间函数频谱的卷积等效于时域两函数的乘积。
用表达式表示为

  · 傅立叶变换
傅立叶级数是将周期信号分解为离散谱线，其积分的上、下限必须满足整周期的条件，也只能分析具有离散频率成分的周期信号，具有很大的局限性。对于一个非周期信号，我们可以把它看成一个周期T 趋于无穷大的周期信号，这种信号的基频f0、谱线间隔Df 都将变成无穷小而趋近于零。显然，这时组成频谱的谱线越来越密集，从而使离散谱线过渡到连续频谱，由此可引出傅立叶变换对的概念。

傅立叶正变换的定义

傅立叶逆变换的定义

傅立叶变换的物理意义是建立了时间域和频率域之间的关系，可以将连续的时间域函数变换成连续的频率域函数，观察信号的频率分布；也可以将连续的频率域函数变换成连续的时间域函数，观察信号的波形特征。

Part 5 频谱分析的各项定义
假设信号x(t)的傅立叶变换为虚数X(f),其实部和虚部的表达式分别为

则有以下定义
(1)    幅值谱

(2)    功率谱

(3)    对数谱(dB)

(4)    相位谱

(5)    功率谱密度(PSD)
定义为x(t)的自相关函数的傅立叶变换,其表达式为

功率谱密度的定义是单位频带内的“功率”（均方值），其表示了信号功率在各个频率点上的分布情况，是对随机变量均方值的量度，是单位频率的平均功率量纲；也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的平均功率，而不是能量。

幅值谱代表了该谐波频率时域信号的幅值，是时域信号各谐波的幅值随频率的线性分布；功率谱代表功率，是谐波频率时域信号幅值的自乘，突出主要频率成分；对数谱反映平均主义，小值加大权，大值加小权，突出幅值小的频率成分，而相位谱是幅值谱(或功率谱、对数谱)对应频率成分的初始相位值。所以在工程实际使用中，当需要对比分析信号中各频率成分幅值大小时，一般采用幅值谱；当需要分析信号中的主要频率成分时，一般采用功率谱；当需要观察和比较分析信号中所有频率成分时，一般采用对数谱；相位谱一定要与幅值谱(或功率谱、对数谱)一起使用，只分析幅值谱(或功率谱、对数谱)中幅值不为零对应频率的初始相位，分析幅值为零时的频率成分的初始相位是没有意义的。

Part 6 相关及相干函数
描述信号X(s),Y(t)（这两个信号可以是随机的，也可以是确定的）在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。

实函数x(t)的自相关函数表达式为

实函数x(t)和y(t)的互相关函数的表达式为

相关测量在工程上有许多应用。自相关函数可用于检测淹没在噪声中的周期信号，因为周期函数的自相关仍然是周期函数，而随机噪声的自相关函数幅值则很快衰减。而互相关函数可以用于检测两个信号是否有同频率成分，因为同频率谐波信号的互相关函数仍然是这个频率成分的谐波函数，而两个函数含有不同频率的谐波信号和随机噪声的互相关函数幅值则很快衰减。另外互相关函数还可以分析两个同频率信号的相位差。
相干函数的表达式为

式中Gxy(f)为输入与输出的互功率谱,等于一个信号拉普拉氏变换后的共轭与另一个信号拉氏变换的乘积,其表达式为

其中X*(f)为X(f)的共轭，在多段平均时，相干系数才有意义,相干函数的取值范围为[0,1]，相干函数的物理意义是，输出有多少成分是由输入造成的。相干值越大，输入与输出的关联性就越大。
相关函数（Correlation），显示两相关变量之间线性关系的强度和方向。在统计学中，相关的意义是用来衡量两个变量相对于其相互独立的距离。而相干性（Coherence），与相关性计算得到的信息非常相似，都是衡量两个变量之间的相关程度，只是相干性多用于频域计算，可以在基于频率上给出更多的信息，而相关性多用于普通的数组计算和时域信号。往往二者计算出的结果非常近似，其微弱的不同正是基于相干性受到频率因素的影响。

Part 7 传递函数
设系统的输入函数为x(t)，输出为 y(t) ，系统的传递函数定义为拉氏变换与输入的拉氏变换的比值 ,表达式为

传递函数是个复函数,其实部称为幅频特性,定义为

虚部定义为相频特性,表达式为

常用的H1估计算法的传递函数的表达式为

系统的传递函数反映了系统本身的物质,与输入输出的信号无关.从传递函数幅频特性和相频特性判断固有频率的方法是：幅频为峰值，相频为零的频率成分就是系统固有频率。在实际测试分析中，由于传递函数也是离散谱线，所以判断固有频率的方法是：幅频为峰值，相频特性在幅频谱峰附近有180 度的相移。类似如下图。

Part 8 滤波
滤波器目的也是为了防止信号混叠，同时剔除无用信号以提高路谱信号的信噪比，滤波器根据其所起的作用可分为：低通、高通、带通及带阻四种，滤波器的原理用举例形式进行说明：原始信号包含10Hz及40Hz两种频率成分，其经过截止频率为30Hz的低通滤波器后，只剩下10Hz的频率成分。滤波原理可简单理解为：原始信号与滤波器幅频响应函数相乘，在可以通过的频率段，其幅值保持原值不变，在被滤去的频率段，其与极小值（直至零）相乘，则不允许通过的频率信号幅值降为极小甚至为零，从而达到了剔除无用信号的作用，也就是滤波。

滤波后得到的信号，起始端由于计算的原因，会残留一小段无用的数据，实际使用时，需要将这部分信号剔除，因此，在数据采集过程中，为了保证滤波后的信号足够长，最好在数据前端保留一小段无用信号，在滤波完成之后，根据实际需要将信号前面部分进行裁剪剔除。

以如下图所示的低通滤波器来说明滤波器的主要技术指标

滤波器的主要技术指标有：
1. 截止频率wp(rad/s)或fp (Hz)：一般定义为对数幅频特性上幅值为-3dB点的横坐标值。
2. 倍频程衰减率(-x/OCT)：定义为对数幅频特性横坐标值为2wp 时的幅值。这个指标越大越好，一般硬件抗混滤波器大于36dB/OCT，现代频谱分析仪器的抗混滤波器大于100dB/OCT。
3. 通带内的波动率(滤波器精度)。有两种表示方法：

一般动态分析仪器精度要求通带内的波动率小于2%或0.1dB。
4. 阻带内的波动率。有两种表示方法：

这个指标越小越好。