杠杆原理与阿基米德点

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给我一个支点，我将撬动整个地球。
Give me a place to stand on, and I will move the Earth.

——阿基米德（Archimedes，约前287-前212年）

虽然阿基米德这句有关杠杆的豪言壮语为世人所熟知，但他并不是发明杠杆的人，而是第一个系统研究杠杆原理的人。古埃及人很早就懂得了利用天平称量和比较物体的重量（如图1所示），这似乎显示人们已经以某种方式在应用杠杆。

图1 古埃及壁画（来源：Marco Ceccarelli）

亚里士多德学院有一本名为《Mechanica》的著作，其写作时间大约在亚里士多德去世（前322年）后到阿基米德出生（前287年）前这段时间，其中一段有关杠杆的描述，大意是：利用杠杆为什么可以用小的力去移动大的力呢？先看一根梁，如果用绳子把它拴住吊起来，当梁平衡时，绳子必定在中心位置。在梁上放两个重量相同的物体，距离中心较远的一段将迅速移动。杠杆有三个要素组成：一个支点（如悬挂点或中心），两个重量。其中一个引起运动，另一个也必将运动，且重量的比例反比于它们各自距离中心的距离（the ratio of the weight moved to theweight moving it is the inverse ratio of the distances from the centre）。并且，离支点越远，越容易产生运动。原因在于离支点远的一端其运动将会画出一个较大的圆。

这段描述说明，在阿基米德之前已经知道了杠杆可以省力。另外还提到了杠杆的三种现象：对于等臂杠杆，物体相等杠杆平衡；对于非等臂杠杆，如果重物相等，杠杆将向臂长的一端下降；杠杆平衡时，重量与它们到中心的距离成反比。然而，由于《Mechanica》中关于杠杆的一些概念还没有明晰，所描述的杠杆原理也很模糊，阿基米德通过观察、证明，最终形成了杠杆原理。

阿基米德有关杠杆原理的讨论集中在《论平面图形的平衡》和《力学问题的方法》中。类似于欧几里得的《几何原本》，采用公理化的结构，先给出公理，然后以此为基础证明出各种命题。在《论平面图形的平衡》中，他先给出了7个公理，如下：

1、相等距离上的相等重物是平衡的，而不等距离上的相等重物是不平衡的，且向距离较远的一方倾斜；

2、如果相隔一定距离的重物是平衡的，当在某一方增加重量时，其平衡将被打破，而且向增加重量的一方倾斜；

3、类似地，如果从某一方取掉一些重量，其平衡也将被打破，而且向未取掉重量的一方倾斜。

4、如果将全等的平面图形互相重叠，则它们的重心重合；

5、大小不等而相似的图形，其重心在相似的位置上，相似图形中的相应点亦处于相似位置，即如果从这些点分别到相等的角作直线，则它们与对应边所成的角也相等；

6、若在一定距离上的重物是平衡的，则另外两个与它们分别相等的重物在相同的距离上也是平衡的；

7、周边凹向同侧的任何图形，其重心必在图形之内。

可以看出在这7个公理中，前三个讲的是杠杆，后4个讲的是重心。以此为基础，阿基米德证明了25个与杠杆和重心相关的命题。其中，命题6和命题7被认为是杠杆原理最重要的两个命题分别为：

  · 命题6：可公度的两个量，当其距支点的距离与两量（重量）成反比时，处于平衡状态。

  · 命题7：不可公度的两个量，当其距支点的距离与两量（重量）成反比时，处于平衡状态。

这两个命题实际上给出了重物在杠杆上平衡的充分条件，实际上可以证明它们也是杠杆平衡的必要条件。设两个重量分别是G1 和G2，它们距离支点的距离是L1 和L2，则阿基米德的杠杆原理表述为

只需要将上式变形就可以得到现在的杠杆原理形式：

在阿基米德的另一著作《力学问题的方法》中，凭借“杠杆平衡”求解了多种图形面积和物体体积，对于我们熟知的球面积、球体积、锥体积等公式等，都给出了详细的证明。如求物体体积，一般选择一个或两个已知体积和重心的“相伴”物体，然后“切片”后，利用杠杆平衡讨论它们之间的比例，再假想把所有的“切片”叠加得到体积公式。当求图形面积时，面积的“切片”就成了一个个的小线段，这种先分割再求和的方法体现了现在微积分的基本概念。

达芬奇说：力学是数学科学的天堂，因为，我们在这里获得数学成果。一直以来，我都以为人类在面对自然时，力学和数学这样分工：力学提出问题，然后，数学给出证明和解答。就像在各门力学课程中，总是依据力学原理建立出方程，然后求解与证明的任务交给数学。阿基米德却给我们展现了不同的图景，让数学来提出问题（求面积或者求体积），然后用力学（杠杆平衡）来证明和解答。

在古希腊，人们认为那些高于观察、经过逻辑推理的知识才是最高的知识，而只是通过观察而得到的现象性的描述通常被认为是低级的，甚至有可能是假知识。显然，阿基米德对于杠杆也并不满足简单的实验观察，而是将其视为数学的一个部分，依照公理，然后是命题、证明的形式演绎自己的发现。这很像欧几里得《几何原本》，这种公理化的逻辑体系在古希腊非常重要。1687年，牛顿《自然哲学的数学原理》也同样沿用了这种公理化的体系。

不过，阿基米德也不满足于纯粹的数学研究，他还将他的理论广泛的应用于工程实践。如果说，阿基米德之所以比他同时代的人更加突出，除了阿基米德能从实验现象得到公理化的理论体系，同时更是他能够将理论应用于工程实践。这就说明，力学既不是单纯的理论，也不是单纯的实践，使理论与实践达到高度统一才是力学的目标。

人们通常将杠杆与斜面、滑轮、螺丝、轮子称为古希腊的五种简单机械，以此为基础可以设计、制造出更加复杂的机械系统。阿基米德就是这些设计、制造的突出代表。

如图2所示，阿基米德发明的“Manus Ferrea”，这是一种巨大的钩子，利用杠杆和定、动滑轮组合制成，平时埋在海面以下，敌船靠近后，迅速升起将敌船勾住并吊起，然后狠狠的摔在海面上，有些小船会直接被拍碎。

图2 阿基米德的Manus Ferrea（来源：GiovanniDi Pasquale）

阿基米德还协助希耶隆二世（HieronII，前270-前216或215）建造了古代最大的船Syrakousia，据说Syrakousia有三层，长45米，6米宽，从餐厅、浴室、暖气、马厩、鱼塘、健身房、广场、花园、神庙等一应俱全，应有尽有。

图3 Syrakousia号，这是西方古代最大的船（来源：GiovanniDi Pasquale）

大船建造好后，下水成了问题。阿基米德利用杠杆、滑轮、螺丝等简单机械设计了一套机械装置，只一个人就缓缓的移动了大船。希耶隆二世惊呆了，明白了站在自己面前的阿基米德是一个无所不能的人。普鲁塔克（Plutarch, C45-120 AD，历史学家）记录了阿基米德在给希耶隆的信中说，给定一定的力可以移动任何重量的物体，即便是一艘大船。经过拖动Syrakousia后，阿基米德说换作是地球，也同样可以移动。这可能就是那句豪言壮语的最初来源。

图4 16-17世纪GiulioParigi的艺术作品（来源：GiovanniDi Pasquale）

现在，我们看到的最早记录阿基米德豪言壮语的是在公元3-4世纪帕普斯（Pappusof Alexandria，生卒年不详，数学家）的著作里，说当阿基米德发现杠杆原理后，用“给我一个支点，我将撬动整个地球”来评论这一原理。

当然，即便给阿基米德一个支点，也还是无法撬动地球。假设阿基米德可以举起100kg的重量，而地球的质量为5.976*10[7kg，通过简单的计算可知，要想把地球撬动1微米，阿基米德需要以光速奔跑6年，这当然是不可能的（见武际可《可怜的阿基米德》）。

虽然“撬动地球”的豪言壮语并不能真正实现，但阿基米德点却成为专业术语被用来比喻各行业中那些足以“撬动工作”向前推进的关键点。例如，社会学中有人将公平视为构建和谐社会的关键点，也称其为阿基米德点；美学中有人认为“美”就是一种“说不可说”，认为“说”和“不说”之间的平衡就是美，平衡点就是美学中的阿基米德点；哲学试图寻找一个无可怀疑的稳定的基石，然后在这块基石上通过严格的几何演绎式的推理程序建立稳固的人类知识大厦，这块基石就是人类知识大厦的阿基米德点。

阿基米德点，有时是推动事物前进的着力点，有时是维持一种“美学状态”的平衡点，或者是构建知识大厦的稳固点。无论它以何种方式出现，通常都是解决问题的突破口和关键点，是足以“改变世界”的支点，找准各领域的阿基米德点，不仅可以使问题迎刃而解，还往往可以起到事半功倍的效能。

这对于我们的启示在于如果希望推动一项工作时，就应该先找准这项工作的阿基米德点，这一点既是突破口，也是施力点。

对于学习，阿基米德点就是“能坐得住”，给学习留有充足的时间。为了“能坐得住”，如果对专业课程学习感觉枯燥的话，可以先从自己感兴趣的课程入手，借此培养自己“能坐得住”的本领。当自己能做到“能坐得住”了，就可以学一些相对枯燥的专业课程，如果一个人对自己反感的东西开始接受了，这个人的心胸就开阔了，心胸开阔了容量就增加了，容量增加了就可以学习更多知识。

参考文献：

[1] https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Lever/LeverLaw.html

[2] 朱恩宽,常心怡.阿基米德全集 陕西科学技术出版社.2010

[3] https://www.math.nyu.edu/~crorre ... er/LeverQuotes.html

[4] 武际可.可怜的阿基米德. 《伟大的实验与观察——力学发展的基础》.高等教育出版社.

[5] Marco Ceccarelli. The mechanics of Archimedes towards modern mechanism design.

[6] GiovanniDi Pasquale. The "syrakousia" ship and the mechanical knowledgebetween syracuse and alexandria.

[7] 强昌文.权利:社会公平的"阿基米德点"[J].安徽大学学报(哲学社会科学版), 2008, 32(4):56-61.

[8] 徐岱.走向人学的美学--论当代审美理论的"阿基米德点"[J].文艺研究, 2001(5):37-44.

[9] 陆通.自我画地为牢——笛卡尔实体化的自我形上观探析[J].昆明理工大学学报(社会科学版), 2009, 9(10):26-30.

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟 太原科技大学。