树枝上的小鸟——趣说刚体平衡

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本文给出了两个静力学例子，其一为小鸟站在竖直树枝上的力学分析；其二为分析和探讨啄木鸟的尾巴在保持身体平衡中的作用。在这两例中，涉及力的平行四边形法则、力的可传性、三力平衡汇交定理、刚体平衡等力学公理。

问题1：试分析图1(a)中小鸟站立在树枝上时，为维持平衡小鸟两爪的作用力有多大？

图1 平面刚体平衡的例子

分析与求解：首先考虑小鸟身体的简化，在某一时刻，小鸟静止，可将其视为刚体。然后考虑小鸟的受力，包括重力，两只爪的作用力。显然，上爪承受拉力和下爪承受支撑力。在此三力中，重力方位线竖直向下，下爪支撑力沿腿作用，但是小鸟位于上侧的腿一方面是弯着的，另一方面紧贴身体，不好判断其受力方向，此时需要根据“三力平衡必汇交”定理来判断上爪拉力的作用线，三力作用线如图1(b)所示。用一个椭圆形代表鸟的身体，保持图中各力的方位，分离出受力示意图，如图1(c)所示。

为了确定三力之间的关系，再利用“力的可传性”，即力沿着作用线移动不改变力对刚体的作用效果，将三力平移至汇交点，依据“二力平衡条件”可知重力应与两爪作用力的合力相等，求两爪作用力的合力则会用到“力的平行四边形法则”，其关系如图1(d)所示。假设拉力作用线与水平线的夹角为θ1（也可等效为支撑力与竖直线的夹角），支撑力作用线与水平线之间的夹角为θ2（也可等效为上腿拉力与竖直线的夹角），依据图1(d)的几何关系，利用正弦定理写出如下表达式：

由于这里只有F1 和F2是未知量，当小鸟的体重已知时，很容易求得

讨论：依据上式可知，小鸟两只爪子的受力主要取决于θ1 和θ2、以及两角之和的大小。当θ1+θ2 为90°时，sin(θ1+θ2)=1，取得最大值，此时小鸟两爪的受力可取得最小值。从图1(b)的照片看，θ1+θ2 近似为90°。可见，小鸟的站立姿态做了最省力的“优化处理”。假设当小鸟重心从远至近贴近树枝时，保持θ1+θ2 =90°，并以θ1 为自变量来考察小鸟站姿对两腿受力的影响，则式上式简化为

由此可见，当小鸟重心从远至近贴近树枝时，θ1 将由大变小，其变化范围在90°~0°之间，根据三角函数的性质可知，当θ1 =45°时，两腿受力相等；当0°<θ1<45°时，有F1<F2，即拉力小于支撑力；当45°<θ1<90时，有F1>F2，即拉力大于支撑力。

问题2：试分析啄木鸟尾巴的作用。

图2 空间刚体平衡的例子

分析与求解：采用与问题1相似的方法，将啄木鸟简化为刚体，这里用橄榄球状来替代啄木鸟的身体，如图2(b)所示。从图2(a)中观察，啄木鸟两爪的作用力相交位于同一平面内，可先将两爪的作用力利用“力的平行四边形法则”合成为一个力F爪，如图2(c)所示。利用“力的可传性”，将其汇交于一点求出合力大小，如图2(d)所示。在此基础上，重力、两爪合力、尾巴受力如图2(e)所示，再利用“力的可传性”简化为图2(f)，啄木鸟要保持身体平衡，则各力之间应满足如下关系：

于是，可得

讨论：依据上式，可以得到与问题1类似的结果，啄木鸟尾巴受力相当于问题1中小鸟下方爪提供的支撑力，且α1+α2=90°时，啄木鸟最为省力，从图2(b)和图2(f)中也可以看出α1+α2 近似为90°。假设α1+α2=90°，选择α2（尾巴上的作用力与竖直线的夹角）作为自变量，上式可写为

啄木鸟在啄食虫子的过程中，需要先将身体后仰，α2 达到最大设为αmax（依据图2(b)估计α2 不超过45°），然后身体向前弯曲啄食虫子，α2 的变化范围在αmax到0°之间。尽管在这个过程中身体是变形体，但对于每一个时刻均可视为刚体，啄木鸟身体弯曲变形的过程，从静力学本质上看就是身体重心依次发生了变化。由上式可知，当αmax（设αmax<45°）逐渐减小时，尾巴受力将逐渐增大，极限情况下α2=0时，啄木鸟身体的重量将完全由尾巴支撑。由此可见，尾巴对于啄木鸟啄食虫子具有十分重要的作用。

图3 绘画艺术作品中啄木鸟尾巴的对比

在大多数有关啄木鸟的绘画作品中，我们会看到啄木鸟的尾巴都是紧贴树干的，图3(a)所示为华夏艺术网一幅关于啄木鸟的绘画作品，体现了艺术家对生活细致入微的观察。相反，图3(b)中右侧的啄木鸟尾巴没有紧贴树干，就有一种摇晃、不够稳定的感觉，这大概就是力学在艺术之美中的体现吧。

本文来源于：张伟伟, 薛书杭, 王志华. 树枝上的小鸟——趣说刚体平衡[J]. 力学与实践, 2019, 41(02):131-134.

原文链接：http://lxsj.cstam.org.cn/CN/10.6052/1000-0879-18-011
注：《力学与实践》所有文章均可在官网下载

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟 太原科技大学。