奇异性 & 圣维南原理

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有限元算法是数值算法，而数值算法就涉及到解的收敛性，如果解没有收敛就可能导致奇异或者奇异性的产生。

应力奇异

在结构分析中，软件内部在计算时先计算出节点位移Displacement，然后再通过数学方程导出应力Stress。应力奇异的出现往往就是某个节点的应力导出值不收敛，越是细化网格，此处的应力值就会越大。理论上，随着网格的细化，应力值会趋于无穷大Infinite。

应力奇异发生的典型位置一般出现在点加载、点接触、点约束、90°拐角（无圆角）等位置。在稍微远离点载荷的地方，应力的分布和均匀载荷是一样的。

在90°拐角位置，最大压缩应力和最大拉伸应力发生在同一点，随着网格的细化，两种力都会随之不断增加（在现实情况中，这种无圆角的部件是制造不出来的，多少都会有个小圆角，所以不可能出现应力奇异，但根据圆角大小的不同，小圆角会产生应力集中）。

数值奇异

对于三维模型，每个部件都有3个平动自由度和3个转动自由度；对于二维模型，每个部件都有2个平动自由度和1个转动自由度。在建立静力分析模型时，必须在模型每个实体的所有平动和转动自由度上定义足够的边界条件，以避免它们出现不确定的刚体位移。

对于静力分析，缺乏边界条件约束是Abaqus/Standard静力分析中最容易犯的错误之一，这时往往会在MSG文件中出现数值奇异 (Numerical singularity) 或零主元 (Zero pivot) 的警告信息。符合静力平衡条件的位移解有无限个→出现“数值奇异”。

对于动力分析，不需要在所有自由度上定义足够的边界条件，因为动力分析会考虑惯性力，可以避免产生无限大的瞬时运动。如果在动力分析时看到“数值奇异”的警告信息，往往是由于模型中存在其他问题，例如“过度塑性”等。

圣维南原理

虽然应力在某些地方会趋于无限，而且是无法避免的。但这并不意味着模型在其他区域的结果不正确。首先，位移在全局都是正确的，即使在应力奇异处位移也是正确的，不存在位移奇异一说；其次，应力奇异只影响奇异附近比较小的区域，离开一定距离后，应力值仍然是对的。

圣维南原理是弹性力学的基础性原理，其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区域稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关，荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。

应力奇异在有限元分析中很常见，但很多时候，奇异区域并不关心，因此可以有下述的方式处理：

  · 忽略应力奇异，如果不关心奇异区域的应力分布，根据圣维南原理，远离奇异的位置应力分布不受影响仍然是正确的。

  · 在有限元分析划分网格时，过多的圆角，特别是小圆角会使网格划分出现问题，但有了圣维南原理，如果不关心圆角区域的应力分布，就可以把小圆角去掉方便网格的划分，计算成本也会减小。

  · 在现实情况中，无限应力是不会产生的，比如90°拐角不可能加工出来。另外，由于材料本身会产生屈服，应力不可能无限增大。在非线性分析时，由于需要考虑材料的塑性区域，软件会自动消除应力奇异（因为过了弹性区域，塑性的存在使应力会有极限值）。

来源：DeepFEA微信公众号，作者：Pantheon0805。