第一强度理论与W.J.M.兰金

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强度问题是人类最早关注的问题之一，远在石器时代，为了打造各种石器，就必须对各种石材的强度有所了解。搭建房屋中，支撑房屋的构件会不会发生折断；横跨小河两岸的桥梁会不会折断等等，这些都属于强度问题。

但是，系统对材料的强度进行实验测定却很晚，文艺复兴时期，达芬奇对铁丝的强度进行了系统的实验研究。后来，伽利略将数学引入力学，并对梁和杆的强度进行了研究，当时伽利略称强度问题为构件的“绝对抗力”。

第一个考虑复杂应力状态的强度理论即第一强度理论，该理论认为引起材料失效的原因是最大拉应力σ1 达到了材料的极限值，即

其中，σb 是材料的强度极限，可通过单向拉伸实验测定。设n 为安全系数，强度校核条件通常写为下式

这里，σb/n 也写为[σb]，称为许用应力。利用第一强度理论进行强度校核时，要先求出构件的最大主应力σ1，然后再与强度极限进行对比。这项工作很可能是英国力学家兰金 (William John Macquorn Rankine, 1820-1872，也有人翻译为“朗肯”) 最先完成的（注：有资料说兰金和拉梅各自独立的建立了第一强度理论），因此也把第一强度理论称为Rankine’s theory（与土力学的朗肯理论不同）。

1870年的兰金 图片来源：网络

兰金出生在英国的爱丁堡，父亲戴维•兰金 (Lt David Rankin) 是一名有军事背景的土木工程师，后来在爱丁堡至达尔基思铁路（当地人称为the Innocent Railway）上工作。他的母亲芭芭拉·格雷厄姆 (Barbara Grahame) 出身显赫。

1834年（兰金14岁），他被送到位于爱丁堡洛锡安路的苏格兰海军和军事学院 (Scottish Naval and Military Academy) 学习，获得了良好的数学教育。1836年（16岁）进入爱丁堡大学，开展了一系列科学研究，包括罗伯特·詹姆逊 (Robert Jameson) 的自然史和詹姆斯·大卫·福布斯 (James David Forbes) 的自然哲学。

1830年，兰金的父亲担任爱丁堡-达尔基思铁路的经理，这是爱丁堡市的第一条铁路，早期还以马为动力，这条线把煤运入爱丁堡，极大的推动了城市发展。兰金在上学期间，一到假期就在父亲的公司帮忙，发展了一种用于铺设铁路曲线的方法，后来被称为兰金法。该方法充分利用经纬仪，在精确度和生产效率方面比现有的方法有很大的改进。不过，这项技术同时也被其他工程师使用，19世纪60年代，关于兰金的优先权还有过一场小小的争论。

马拉火车 图片来源：网络

1838年（18岁）兰金肄业离开爱丁堡大学（这在当时并不罕见）。此后，他成为了约翰·本杰明·麦克尼尔爵士 (John Benjamin Macneill) 的学徒，麦克尼尔爵士是爱尔兰杰出的土木工程师，他一生的主要贡献是提供了爱尔兰很多铁路方案。在自己的父亲和麦克尼尔爵士的影响下，兰金的研究兴趣涉及到了与铁路相关的方方面面，如热机力学、车轴强度与疲劳、铁路铺设等。

1842年（22岁）兰金曾尝试将热现象转化为数学形式的科学研究，但由于缺乏实验数据而失败。不过，兰金并没有气馁，1849年（29岁），他成功地找到了饱和蒸汽压力与温度之间的关系。第二年，他用他的理论建立了气体的温度、压力和密度之间的关系，以及液体蒸发潜热的表达式，并准确预测了饱和蒸汽的表观比热为负这一惊人的事实。他还给出了热机功率仅与两个工作温度相关的结论，并建立了等价于开尔文温度的热力学绝对温度，被称为兰金温度 (Rankine scale)，所不同的是，他用了华氏温度表示 (0°Ra=−459.67 °F)，开尔文用了摄氏温度 (0°K=−273.15 °C)。

此外，兰金还检查了许多火车断轴的案例，并成为最早认识到铁路车轴疲劳失效是由脆性裂纹萌生和扩展引起的工程师之一。尤其是1842年，车轴突然断裂引起的凡尔赛火车事故中（该事件导致50名乘客死亡），他指出轴的肩部或其他应力集中源（如键槽）的脆性裂纹是扩展所致，随后约瑟夫•格林 (Joseph Glynn) 对失效车轴的分析证明了他的观点。几年后威廉·费尔贝恩 (William Fairbairn) 验证了反复弯曲对梁强度的削弱效应。

在这些杰出工作的支撑下，1850年，经詹姆斯·大卫·福布斯教授提名，兰金被选为爱丁堡皇家学会会员。此后兰金进一步完善了蒸汽机理论，他的工程科学与实践手册在出版后广泛流行，发表了几百篇有关科学和工程主题的论文，他获得了协会颁发的1851-1853年度的基斯奖（Keith Medal，每三年一次，每次只有一人获奖）。1871年至1872年，担任了该协会的副会长。

1855年兰金被聘为格拉斯哥大学 (Glasgow University) 土木工程与力学系的教授，开展了一系列的岩土和力学方面的研究。第一强度理论就是在这一时期提出的，主要来源于1855年和1857年两篇论文（这是我猜的，维基百科只提到了1857年的文章）。

1855年，兰金在论文On Axes of Elasticity and Crystalline Forms中，首先讨论了弹性轴 (Axis of elasticity)，然后从固体微粒（应该就是讲微元体）的变形出发，定义出微元体的6个基本应变 (elementary strains) 和6个基本应力 (elementary stress)。紧接着开始讨论主应力轴 (Principal euthytatic Axis) 以及弹性对称平面，以及材料的弹性常数。文中有关主轴的描述如下：

Every euthytatic axis has this property, that a direct linear elongationor compression along such an axis, produces a normal stress, and no oblique ortangential stress on a plane normal to same axis.

每一个主轴都是由这样的特性，沿着主轴的平面上只有因拉伸或者压缩产生的正应力，而没有倾斜的或者切应力。

这或许为主应力的提出奠定了基础。文中另有一段描述材料破坏的段落：

It is probable that thenormals to planes of cleavage are euthytatic axes of minimum elasticity.


材料开裂面法线方向很可能就是具有最小弹性的主轴方向。

兰金在这篇文章中主要讨论各向异性材料，因此材料在不同方向上的变形能力是不同的，因此他强调了材料具有最小弹性（性能）的主轴方向是开裂方向。如果把这一思想等价到各项同性材料上，各主轴方向的弹性性能相同，就可以很自然的推导出第一主应力达到极限应力从而发生断裂，即第一强度理论的基本思想。

1857年兰金发表的On the stability of Loose earth一文，这篇论文主要基于库伦的最小抗力楔体 (Wedge of leastresistance) 理论，给出了土力学中土压力的求解方法，以及土体失稳的判定条件，即土力学中朗肯理论 (Rankine’stheory)。这篇文章可以认为是兰金有关土强度问题的系统讨论。

有资料称本文是第一强度理论（最大拉应力理论）的出处文献，但本文似乎并没有给出类似于第一强度理论的判定标准。况且第一强度理论采用最大拉应力，在土体受力分析中，以压力为主，似乎也不符合第一强度理论的适用于脆性材料的限定。不过，文中讨论主压力（类似于主应力）的确定方法，提供了复杂应力状态的分析方法，这对于确定最大拉应力是有益的。第一强度理论有没有明显的出处文献还有待进一步考证。

令我惊奇的是，兰金的一生也很符合力学的无边界性：早年在大学期间研究自然史和自然哲学，并提出铁路铺设的兰金法；后来又热衷于热力学和热机的研究，提出兰金循环和建立绝对温度；对车轴的疲劳研究使他成为较早认识到裂纹萌生与扩展的科学家之一；到格拉斯哥大学后又开展土木工程研究，建立了第一强度理论和土力学中的朗肯理论。

在兰金看来，这些不同的领域一定贯穿着某种固定的主线，才使得他可以在多个领域做出杰出贡献。不仅如此，他还于1859年7月主持成立了第二拉纳克郡步枪志愿者队，后来发展成了格拉斯哥大学军官训练团 (Glasgow University Officer Training Corps)。在1860年，志愿者队伍成军队建制后，兰金还做了少校，并一直任职到1864年，这一时期他的工作大部分与造船有关。

1872年，兰金在格拉斯哥家中去世，享年52岁，终生未婚。

参考文献：

俞茂宏, 彭一江. 强度理论百年总结[J]. 力学进展, 2004(04):99-130.

Dietmar Gross. Some Remarks on the History of Fracture Mechanics.

W.J.M. Rankine. on the stability of loose earth.

W.J.M. Rankine. On Axes of Elasticity and Crystalline Forms.

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。