湍流的解析方程与湍流的普遍性质

weixin

湍流的解析方程和相应的解析解，被定义为世纪难题。由于科学网上有不少热爱科研的网民，其中有关心湍流问题的，因此本文把我最近几年的研究结果给出一个哲学性论述。希望对于有关研究者开拓思路有所帮助。

从实验上看，湍流现象类的实验很多，经验性的关系总结也很多。从数值模拟上看，大多数实验结果也能大致的由数值解得到。因此，对于实验力学和计算力学来说，湍流的方方面面的性质都已经被实验所揭示。

从理论上看，则缺乏关于湍流的理论解。已经知道的是：湍流的运动方程是非线性的，所以也基本上不认为有解析解。

在2019年，应用陈至达的变形张量S+R分解理论，对于零压力梯度的壁面流动，得到速度剖面U(y) 理论方程的形式为U’’=-(1/v)(1-cosA)U。它是一个以函数为系数的谐波方程。式中，A 依赖于速度的一次偏导数，为描述微元体涡旋性质的局部转动角参数。

已经证实的是，普朗特的对数律速度就是方程的理论解。因此，可以认为：对于理想的壁面流动，理论解与实验解是吻合的。

由这个方程，随着壁面距离的增大，湍流的尺度是从超高波数的微小尺度演化为趋于零波数的超大尺度。而这种演化局部转动角函数的变化。有三个特征是明显的：

  · 大局部转动角区域，cosA 几乎为零。充分发育的湍流在本质上就是谐波方程的解。因此，湍流的谱描述是普遍有效的。

  · 微小局部转动角区域，cosA 几乎为1。湍流不发育，流动解表现为近似的线性解。这是经典流体力学。

  · 最为复杂的，也就是最为关心的湍流区域是cosA 从不能近似为1演化到接近于0的区域。这个区域的已知实验解是功率谱的-5/3律，把波数作为自变量。

目前，能确切外推的一般性湍流方程形式为：在涡旋中心系下的普遍方程U’’=-(1/v)(1-cosA)U+F(U)，这里，F(U) 指其它次要因素项。式中，速度为3维矢量形式，A 为3维的微元体局部转动角。

通过这个壁面流理论方程特例：可以确认的是，用陈至达的变形张量S+R 分解理论给出的加速度取代欧拉方程的加速度，就可以得到湍流的普遍有效方程。但是，由于局部转动角函数需要首先确定（假设或是经验性关系确定），因此，普遍有效的解析解是难于得到的。

这就需要实验研究的介入。由于局部转动角是涡旋的几何特征，所以会出现如下问题：

  · 对于一个涡旋群，在小尺度微元体度量时，局部转动角很大；而在取大尺度微元体时，局部转动角很小。实验上，局部转动角表现为尺度的周期性函数。这个问题被批判为：尺度依赖性。它的后果是：湍流解依赖于尺度的选择（所取的局部转动角函数）。哲学上看，这就会有争论：对于客观上的同一个湍流运动，在不同尺度选择下，给出不同的理论解。是是非非？

  · 数学上，严格的加速度公式是用李导数来证明的。因此，用S+R 导出的微元体加速度与李导数虽然在本质上一致，但是在力学（物理）解释上区别很大。而普遍接受的是基于李导数的欧拉方程，或是NS方程，因此，对于这里给出的壁面流方程以及湍流的普遍方程，在理论界几乎没有支持性文献。

因此，何去何从取决于个人的哲学判断。

来源：肖建华科学网博客，作者：肖建华教授