简述计算机三大变换的联系和区别 (傅里叶变换、拉普拉斯变换...

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1. 傅里叶变换定义
能将满足一定条件的某个函数，表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

f(t ) 是t 的周期函数，如果t 满足狄里赫莱条件：在一个以2T 为周期内f(X ) 连续或只有有限个第一类间断点，附f(x ) 单调或可划分成有限个单调区间，则F(x ) 以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S(x ) 也是以2T 为周期的周期函数，且在这些间断点上函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点，绝对可积。则有下式成立。称为积分运算f(t ) 的傅立叶变换。

下式的积分运算叫做F(ω) 的傅立叶逆变换。F(ω) 叫做f(t ) 的像函数，f(t ) 叫做F(ω) 的像原函数。F(ω) 是f(t ) 的像。f(t ) 是F(ω) 原像。

2. 拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t(t≥0) 的函数转换为一个参数为复数s 的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中，都起着重要作用。

拉普拉斯变换，是对于t>=0 函数值不为零的连续时间函数x(t)，通过关系式

式中，st 为自然对数底e 的指数。变换为复变量s 的函数X(s)。它也是时间函数x(t ) 的“复频域”表示方式。

3. Z 变换定义
Z变换（英文：z-transformation）可将时域信号（即离散时间序列）变换为在复频域的表达式。它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z 变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，在数字信号处理、计算机控制系统等领域，有着广泛的应用。

双边Z 变换
离散时间序列x[n] 的Z变换定义为：

式中：

其中，σ 为实变数，ω 为实变量，所以Z 是一个幅度为eσ，相位为ω 的复变量。x[n] 和X(Z) 构成一个Z 变换对。

单边Z 变换
通常意义下的Z 变换指双边Z 变换，单边Z 变换只对右边序列（n≥0 部分）进行Z 变换。单边Z 变换可以看成是双边Z 变换的一种特例，对于因果序列双边Z 变换与单边Z 变换相同。

单边Z 变换定义为 ：

三大变换的联系和区别DISCOVERY
傅里叶变换是最基本得变换，由傅里叶级数推导出。傅里叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T 趋于无穷的周期信号，就推导出傅里叶变换，能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅里叶变换的弱点是必须原信号，必须绝对可积，因此适用范围不广。

拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，傅里叶变换不适用于指数级增长的函数，而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅里叶变换，把频域推广到复频域，能分析的信号更广。然而缺点是从拉普拉斯变换的式子中，只能看到变量s，没有频率f的概念，要看幅频响应和相频响应，还得令s=j2πf。

Z 变换的本质是离散时间傅里叶变换 (DTFT)，如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号，那Z 变换就是专门分析数字信号，Z 变换可以把离散卷积变成多项式乘法，对离散数字系统能发挥很好的作用。Z 变换看系统频率响应，就是令Z 在复频域的单位圆上跑一圈，即Z=ej2πf，即可得到频率响应。由于傅里叶变换的特性“时域离散，则频域周期”，因此离散信号的频谱必定是周期的，就是以这个单位圆为周期，Z 在单位圆上不停的绕圈，就是周期重复。单位圆0°位置是实际频率0Hz，单位圆180°的实际频率就是采样频率的一半，fs/。

总结一下
拉普拉斯变换是傅里叶变换的扩展，傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例，Z 变换是离散的傅里叶变换在复平面上的扩展。

原文链接：
https://blog.csdn.net/m0_37876745/article/details/80782499

来源：CSDN 樱花城堡的小侍卫 的博客。