几何学与微观力学

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一、微观几何

近年来，微观力学引起了学者们的注意。有不同的名称，有的称纳米力学 (nanomechainics)，有的称介观力学 (mesomechanics)，还有的直接称微观力学 (micromechanics)。不过总的来说，是研究尺寸很小的对象的力学。这大概是由于近年来微机械制造，材料强度的微裂痕研究等的需求刺激引起的。

这些不同的称呼，都表示研究对象的尺寸是微小的，尽管对于“微小”的理解有差别，有人理解为是纳米级的微小，有人则理解为原子的大小。不过单从尺度减小来说，并不能很好刻画这类问题的本质。那么，对于尺寸减小后，从力学的观点来考察，究竟什么因素使得它的处理方法和宏观大尺寸时有什么不同呢？一句话，随着研究对象尺寸的减小，表面现象将逐渐占据突出的地位。

首先，因为尺寸减小，物体所受的体力是与物体特征尺寸的三次方成比例，而面力是与尺寸的平方成比例。所以，当研究对象减小时，物体所受的体力更迅速地减小。于是在微观世界里所研究的对象，都是与表面有关的力占主要地位。所有的摩擦力、流体阻力、表面张力都是与表面有关的外力，它们将是物体主要的受力。

其次，当研究对象的尺寸减小后，它的不均匀性会凸显出来。原来可以看作均匀的多体固体、晶体的颗粒凸显出来，更何况如果进一步减小尺寸，原子和分子的作用就必须考虑。而流体中的悬浮物也会凸显出来。在这种情况下，仍然是颗粒之间的界面的作用会成为最主要必须考虑的因素，而流体与悬浮颗粒之间的作用，也是通过表面力来作用的。近年来受人们关注的断裂问题，其实用连续和均匀介质的方法，总是得到裂纹尖端的应力是无穷大，这是不符合实际情况的。实际上，这类问题应当按照多晶体问题来讨论，也必然会遇到晶体的界面强度问题。

在研究生物体的时候，无论是动物还是植物，它们的细小单位总会要遇到细胞，而细胞是由一层细胞膜包裹着各种物质的单元。细胞膜是具有很小厚度的薄膜，又是一种曲面。

总之，当我们准备和微观世界的力学现象打交道时，总是要和各种各样的曲面打交道。

二、曲面和平行曲面

对于一张已知曲面r=r (u1,u2)，距离为z 的平行曲面为

其中，n (u1,u2) 为曲面的单位法向量。两个向量是线性无关的

因而可以取为曲面t=r (u1,u2)上的局部标架，于是有曲面的度量二次微分方程为

其中

而平行曲面r z=(u1,u2)+zn(u1,u2)的度量的二次微分型为

这里

其中，H 称为曲面的平均曲率，K 称为曲面的高斯曲率。而

也称为曲面的第二二次微分型，它是表征曲面弯曲性质的一个微分二次型。二次型

则称为曲面的第三二次微分型，它是由第一和第二二次微分型决定了的二次型，因而不是一个独立的二次型。

三、两类算子

从连续介质力学我们知道，在一个有势力场作用下，力就等于势函数的梯度。现在考虑一个势函数f 在曲面r z上的梯度，它沿曲面法向方向的梯度比较简单，就等于沿法向的偏导数。于是问题在于计算在曲面r z的切平面内的梯度。按照梯度的定义

这里上标z 表示对应平行曲面的量。

由于

将梯度的定义公式的g zjk 代入，解出g zij，并且注意式中z 是一个小量，略去它的高阶项，只保留一次项，就会得到

式中

这就是殷雅俊教授在[2、3]和[4]中引进的一对算子。它表示在沿着平行曲面做梯度计算时，应当是沿着原来曲面的梯度，加一个由于曲面弯曲的z 的一阶修正，这个修正，就是上式算子。

上式是由刻画曲面弯曲（或几何形状）的几何量bik 决定的微分算子，由于刻画曲面弯曲的几何量并不唯一，故这类算子的定义也不唯一。我们可以将第三二次微分型的系数pij 的表达式写成实体形式：

进一步有

这可以视为一个关于b 的二次代数方程。由韦达定理，它的两个根满足

与b 类似， 也是刻画曲面弯曲的几何量。殷雅俊认为，既然b 可以用来定义算子

那么，也可以用来定义如下算子

由上述韦达定理可知，这两个算子并不独立，它们满足关系式

因此，这两个算子保留一个就可以了。殷雅俊建议保留后者，因为与前者相比，后者具有更高的对称性，其中最基本的对称性表现为

即两个算子（如下）

内积运算具有可交换性，鉴于其对称性，殷雅俊将这两个算子视为曲面上的两类基本微分算子，由于这两个算子一样具有梯度特征，故将后者称为曲面上的形状梯度，并认为这是微纳米尺度上的反常驱动[4]。前者是多数人都熟悉的，而后者则是很少人知道。但式

第二个等式定义了一个二阶标量微分算子 ，殷雅俊证明正好就等于美国学者道奈尔 (Lloyd Hamilton Donnell,1895-1997) 于1993年在弹性扁壳平衡方程中引进的微分算符L(···)[5]。也就是说算符L(···) 一直是用于讨论扁壳上，这是一类宏观连续介质力学问题。

两个基本算子最早被用于微观力学研究上，是殷雅俊教授在2004年开始的。由于我们前述在微观力学中，必然要和曲面打交道。而且曲面问题会成为这类问题的主要因素。所以殷雅俊用这个工具得到了许多新的结果。可以预料，这两个算子特别是后一个会在微观力学的研究中发挥更大的作用。

参考文献：
[1] 武际可、黄克服，微分几何及其在力学中的应用，北京大学出版社，2001
[2] 殷雅俊，曲面物理和力学，《力学实践》，第33卷，第6期，2011,1-8
[3] 殷雅俊，曲面物理和力学：最佳基本微分算子对，《力学与实践》，第35卷，第1期，2013,1-7
[4] 殷雅俊，微纳米空间弯曲诱导的反常驱动力——从泡利的魔鬼谈起，《力学与实践》，第36卷，第2期，2004,137-146
[5] 武际可，王敏中，王炜，《弹性力学引论》。北京大学出版社，2001

来源：武际可科学网博客，作者：武际可 北京大学力学系。