流体力学之：动量定理

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给出动量定理在流动中的体现形式，首先是分析流动与受力的关系，然后得出简单流动的动量方程。当流动较为复杂时，要采用微分形式，也就是拉维斯托克斯方程，简称NS方程。最后，分析动量方程中各项的含义，并针对具体的流动粒子看一下它的应用。

01 流体与受力
流体的运动遵循牛顿定律，所以流动形式直接作用于流体上的力。

来看一个变截面通道内的流动与压力的变化。这个流动属于不可压缩流动，流速与流道横截面积成反比，而各截面处的压力则可以从吸上来的水柱高度来判断。可以看出，截面越小，流速越大，而压力就越低。一般这种流动用于伯努利原理的解释，但从根本上来说，流体遵循的是牛顿定律。

这里给出三个流向位置的速度，从截面积判断，V2 大于V1，V3 小于V2。

流体的加减速是如何产生的呢？现在只研究收缩段，分析流体经过收缩段加速的原因。在收缩段中部，取一个流体微团。显然，这个流体微团具有向右的加速度，那么它所受到的合力就应该是向右的。这个合力只能是它四周的流体给他的，确切的说是压差力产生的。这里画出微团表面的压力分布，可以看出左侧的压力大于右侧形成的压差力，这就是微团加速运动的原因了。

通过收缩段的所有流体微团都是在这样的压差力作用下加速的。把整个收缩段看作一个控制体，一定是进口的压力大，出口的压力小。与压差力对应，收缩段进口流速小，出口流速大。所以，流体的加减速运动从根本上来看是遵循牛顿第二定律的。

现在我们再来看一个气球放气时的推力问题。如果直接对气球内的气体应用牛顿第二定律，公式是这样：

式中，m 为气体的质量，v 为气体的速度，这属于拉格朗日法。

如果用 表示气体单位时间内的动量变化，这个动量变化是多少呢？这要把气体分为两部分，考虑保持在气球内的和从喷口排出的。

假设从喷口排出的气体流速是v，单位时间排出的气体质量是δm，那么所有气体的动量变化是δm 乘以v 吗？不完全是，因为气球内的气体质量发生了变化，并且产生了一定的流动，所以整体的动量变化是两部分之和，也就是还在气球内那部分气体的动量的变化和流出那部分气体的动量变化。

把动量变化带入到牛顿第二定律公式中，就得到了这样的关系：

这里右边第一项是控制体内动量的变化；第二项是流出控制体的动量。这个方程是针对控制体的，所以是欧拉法的动量方程。在很多问题中流动是定常的，既控制体内的性质不随时间变化，这时作用于控制体上的力的效果是使进出控制体的流体动量不同。

这个关系式适用于进出口处是一维流动的情况，这时动量流量可以用质量流量与速度的乘积来表示。

现在我们来看这样一个问题，这是一些静止的空气微团，现在有飞机从这些空气中飞过，微团受到扰动后的运动趋势是这样的。

这当然是飞机给他们的作用力造成的。我们知道匀速飞行的飞机上大体有四种力的作用，分别是重力、升力、推进力和阻力。这四种力中，除了重力以外，其他三种力都是气流对飞机的作用力，气流给飞机提供向上的升力，对应着飞机给气流向下的作用力。根据动量方程飞机给空气向下的力，空气就具有了向下的速度，在水平方向上。飞机外表面带动空气向前运动，而发动机则把空气排向后方。被飞机带动向前的空气给飞机向后的阻力，而被发动机排向后方的空气给飞机向前的推力。因为飞机匀速飞行时，推进力和阻力是相等的，所以飞机飞过后，空气整体并无水平方向的速度，但具有向下的速度。

从动量方程的角度来说，所有依靠空气产生升力的物体都需要把空气排向下方。这种理解升力的思路在直升机上更好理解。我们都知道，直升机是靠旋翼把空气排向下方来产生升力的。鸟类飞行也是一样，是靠翅膀把空气排向下方和后方，才能产生升力和推进力。悬停的火箭则有所不同，它排向下方的气体是自身携带的。

02 动量方程—N-S方程
接下来，看一看飞机发动机推力的计算。这是一个简化的飞机发动机模型，用一个涵道风扇来代替。发动机吊飞机上，通过吊架给飞机提供推力；反过来，飞机就通过吊架给发动机向后的拉力。现在取虚线所示的圆柱体为控制体，通过分析它的受力来求推力。

以发动机为参照物，气流从左侧流入控制体，从右侧流出。根据动量方程可以确定控制体所受的合力，进出口动量的关系：

一般在巡航状态下，气流直接进入发动机，而没有加速或减速。流速等于飞行速度，所以进口处的压力等于大气压Pin=Pa ，只要出口的气流速度为亚音速，则出口处的压力也为大气压Pout=Pa。于是可知控制体进出口压力相等，其上作用的力只有飞机的拉力T。这样，我们就得到了飞机发动机推力的表达式：

这里面 是流经发动机的空气质量，vout 是出口气流相对于发动机的速度，v 是进口气流相对于发动机的速度，其实也就是飞机的飞行速度。

现在来看一下飞机的升力和阻力。以机翼为参照物，远前方的空气水平流向机翼，在机翼上产生升力和阻力。根据动量定理，这必然导致空气的向下偏转和减速。空气的向下偏转对应着升力，减速对应着阻力，分别可以用图中动量方程表示出来。

不过，气流经过机翼后，并不保持匀速的流动，出口速度与位置有关，这时是不能简单的取出口速度平均来计算升力和阻力的。因为动量方程中的流量也是与速度有关的，所以应该对动量整体进行积分。

在这个例子中，流场不是一维流动，虽然升力和阻力仍然可以用简单的积分解决。但是，如果想知道机翼表面的流速和压力分布，简单的动量方程就不能胜任了。

这时，我们就需要微分形式的动量方程。对于流经机翼表面的一个流体微团来说，其上作用着体积力和表面力。在这个图里，蓝色的箭头表示X 方向的作用力。红色的箭头表示Y 方向的作用力，X 方向作用力的合力使流体微团产生X 方向的加速度；Y 方向作用力的合力使流体微团产生Y 方向的加速度。

体积力比较简单，可以用作用于微团质心的集中力来表示，表面力分为正应力和切应力，四个面上的正应力切应力如图所示。设微团在垂直壁面方向的厚度为1，就可以分别写出沿X 方向和沿Y 方向力的表达式。

X 方向合力：

Y 方向合力：

现在我们只看X 方向的力与运动的关系：

在X 方向合力的作用下，微团在X 方向产生加速度ax，加速度的表达式我们已经讲过了，是速度的物质导数形式：

把力与加速度带入到牛顿第二定律公式中，就得到了X 方向的动量方程，同样也可以得到Y 方向和Z 方向的动量方程。这三个分量形式的方程，组成了流体微分形式的动量方程：

不过这个方程并没有直接的用处，因为其中的正应力和切应力都是未知的。流体中的应力与流动的关系我们是知道一些的，牛顿粘性力公式就是一个。对于不是沿着坐标轴的剪切来说，这个粘性力公式可以写成更一般的形式。

这就是流体切应力与切应变率的关系。正应力主要由压力组成，粘性力也有一点贡献。历史上，斯托克斯在牛顿粘性力公式的基础上通过一定合理的假设，得出了广义的牛顿粘性定律公式。其中，X 方向正应力的关系式是这样的：

类似的还有其他正应力和切应力的关系τyy、τzz、τzx，切应力是对称的，比如τxy ·τyx，一共只有三个独立切应力。正应力也是三个，这六个应力的关系式表示了牛顿流体中应力与流动之间的关系，称为广义的牛顿粘性定律公式，也称为牛顿流体的本构方程。把本构方程带入到动量方程中，就得到了最终的动量方程，这是写成矢量形式的动量方程：

因为这个方程的推导过程中，纳维和斯托克斯两人的贡献最大，所以称之为纳维和斯托克斯方程，简称为NS方程。这个方程是二阶非线性的偏微分方程，对一般流动不容易得到解析解，所以流体力学又发展了各种简化的和替代的方法来解决实际的流动问题。

03 动量方程的分析与应用
现在我们来分析一下N-S方程的物理意义。N-S方程是动量定理，在流体运动中的应用无非就是力与动量变化的关系。

在这个式子中，等式左边是加速度，也就是单位质量流体的动量变化。如果我们跟着微团一起运动，这个加速度就体现为惯性力，所以有时成为惯性项。方程右端第一项是体积力，第二项是压差力，第三和第四项是粘性力。由于在常见的大多数流动中，粘性力、压差力也小得多，很多流动经常可以简化为无粘流动，即粘性力项为零。这时二次方程退化为欧拉方程，既无粘流动的动量方程：

如果流体是静止的，粘性项自然为零，同时惯性力项也为零。方程就蜕化成欧拉静平衡方程：

如果在无粘的条件下再加上一维和定常流动的条件，则方程变成这样的形式：

对这个方程进行积分，并加上不可压缩的条件，就得到了伯努利方程：

所以，伯努利方程的应用条件就是定常不可压，并且沿一条流线。

最后，我们通过一个管道流动的例子来进一步理解动量方程。

对于无限长的管道内部的流动来说，如果流动是层流的，是有解析解的，现在我们用控制体方法来分析一下这种流动。取包含管道内所有流体的圆柱体为控制体，其两端作用有压力，而四周的圆柱面上作用于壁面给流体的剪切力，即摩擦阻力。

对无限长管道流动，流体流速沿流动方向不变。所以，压差力产生的驱动力和剪切力产生的阻力平衡。整理后就可以得到单位长度压降的关系：

壁面剪切力τw 是未知的，还需要额外的关系式才能得出更有用的结果。现在取这样的一个控制体，其直径D 是任意的。仍然可以使用上述关系式，只不过这时关系式中的剪切力不再是壁面处的，而是任意半径处的剪切力τ。

补充一个牛顿粘性力公式，并考虑壁面的无滑移边界条件：

根据这些关系式和边界条件，可以解出管内的流速分布：

可以看出速度沿半径方向是二次分布的，在中心线上取得最大。一般管道流动问题中，我们已知的是流量，从而可以知道各截面上的平均流速。如果对流速关系式进行积分，就可以发现最大速度是平均速度的两倍

这样，我们就得到了单位长度压降与平均速度和管径的关系：

这是个很有用的关系，可以直接通过管径和流量得出压力损失。我们这里是通过控制体法得出的，这个结果实际上也可以直接求解NS方程得出。这种流动称为哈根-泊肃叶流动，是少数几种已经得到解析解的流动。

来源：CFD控微信公众号（ID：fj_chenzhibin）