有限元法的基本原理

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1.有限元简介
有限单元法 — 起源于数学学科，最早是用于求解复杂微分和偏微分方程的数值计算方法。后来，有限单元法随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。经过辛科维奇等力学大师的推广，有限元法是目前工程领域应用最为广泛的数值模拟方法之一。五十年代初，有限元法首先应用于连续体力学领域-飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。

有限元法本质上是一种（偏）微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
有限元法把一个原来连续的物体划分为有限个单元，这些单元通过有限个节点相互连接，承受与实际载荷等效的节点载荷，并根据力的平衡条件进行单元分析，然后根据变形协调条件把这些单元重新组合成能够进行综合求解的整体。有限元法的基本思想—离散化

2.有限元基本原理
2.1弹性力学基本物理量
载荷
又称为外力 ，即外界作用在弹性体上的力，分为：集中力、面力和体力，分别表达为：

2.1弹性力学基本物理量
应力分为：法向应力（即正应力）和剪切应力（即剪应力），表达为：

2.1弹性力学基本物理量
位移：沿3个坐标轴方向的位置该变量，表达为

2.1弹性力学基本物理量
弹性力学中的基本物理量归纳如下：

2.2弹性力学的基本方程
平衡方程：表达了应力和载荷的关系（共 3个）

2.2弹性力学的基本方程
几何方程：表达了应变和位移的关系（共 6个）

2.2弹性力学的基本方程
物理方程：又称本构方程或广义虎克定理，表达了应变和应力的关系（共6个）

2.2弹性力学的基本方程
物理方程：表达了应变和应力的关系（续）

2.2弹性力学的基本方程
基本方程相互关系

2.3弹性力学的解题思路

2.4有限元的基本思想

2.4有限元的基本思想节点、单元、载荷、约束

2.4有限元的基本思想节点和单元

2.4有限元的基本思想

有限元法通过加权余量法（或变分法、最小势能原理、虚功原理等）将偏微分方程转变为代数方程，便于计算机处理。将求解域剖分为网格，对节点变量进行单元分片插值值，单元矩阵形成规范化，形函数只与坐标有关，单元刚度阵组装为整体系数矩阵后，考虑边界条件，求解矩阵方程即可得到节点未知量。采用单元上的分片假设近似函数，将积分方程转化为代数方程组

式中，u为位移模式，N 为形函数，K为整体刚度矩阵， a为节点位移向量，P为节点力向量。