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[综合讨论] 波动方程,了解下!

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发表于 2020-7-15 13:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

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声学基础上关于声学波动方程的推导,来自理想流体媒质的三个基本方程,运动方程、连续性方程和物态方程(绝热过程)。而关于流体力学也有三个方程,分别是质量守恒方程、动量守恒方程(N-S方程),以及能量守恒方程。事实上,在绝热过程中,小扰动下的流体方程也可以推导出声学方程。

质量守恒:
  · Euler观点推导:单位时间内穿过界面S 流出的质量,等于单位时间内体积V 内质量的减少;
1.png
  · Lagrange观点推导:体积V 内流体质量在运动过程中不变
2.png
根据雷诺运输定理,上述两种关系是等价的:某时刻体积V 内系统总物理量的时间变化率,等于该时刻V 空间区域内物理量的时间变换率与单位时间内通过V 空间区域边界的物理量的净通量之和。

动量守恒 (N-S方程):
  · Lagrange观点推导:体积V 内的总动量随时间变化率等于总体积力和总面力之和。
3.png
  · Euler观点推导:体积V 内的动量变化与流出体积V 的动量变化率之和等于总体积力和总面力之和。
4.png
同理,根据雷诺运输定理,上述两种观点也是等价的。

能量守恒:
这里引用一个表述:内能 (internal energy) 和动能 (kinetic energy) 之和随时间变化率等于外力功率和热交换功率之和。
5.png
根据动量守恒:动能变化率+应力功率 = 外力功率
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结合上两式,并将应力展开,去掉积分符号
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第一项和第二项是空间内总内能随时间变化率,第三项是传导热和辐射热,右边第一项是应力,右边第二项是外部热源。

上面方程通过热力学方程转化:
8.png
这里需要注意下,这边的内能E 跟热力学中常用的内能符号U 是同一个物理量吗?

我认为内能E 等价于热力学中的Q,因为压力做功已经包含在应力项中。
9.png
根据热力学转换关系
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根据麦氏关系
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根据如下定义可以推出能量守恒的本构关系(这里需要注意下,体胀系数中的V 是可以转变成密度rpho的,我么认为质量守恒,体积与密度成反比)。
12.png

声学波动方程推导
我们认为媒质中的声波是微小扰动,可以假设
13.png
代入质量守恒和动量守恒方程,略去二阶小量
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那么,如何利用能量守恒方程写出等式呢?这里《声学基础》上认为声波过程进行的还是比较快的,体积压缩和膨胀过程比热传导需要的时间短得多,声波过程可以认为是绝热过程,因此《声学基础》利用绝热过程的物态方程进行推导。

绝热过程的物态方程如何推导?绝热过程是不与外界交换热能,上述的热能E(热力学Q)为0
15.png
根据理想气体(这个前提很关键)
16.png
这里面有个结论,在理想气体下,内能U 只是T 的函数(可以证明),所以可以推导出
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可以得到绝热过程的物态方程
18.png
为了与上述变量一致,体积转换成密度
19.png
代入微扰,此时的密度是微扰量(小量)
20.png
结合上面质量守恒和动量守恒推导的方程,可以得出声学波动方程
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通过流体方程推导的线性声学方程仅限于理想媒质中的线性声学。

理想气体的假定以及绝热过程是推导线性声学方程的关键,什么时候会发生比较明显的非线性呢?应力做功是否包括压强变化做的功?

引用:
热力学方程在计算热力学函数中的应用(朱元举)
流体力学控制方程(王娴 西安交通大学航天学院)
I can’t understand the derivation of the formula Cp=Cv+nR(physics forums)
Comsol help Thermodynamic description of heat transfer...
https://www.zhihu.com/search?type=content&q=流体方程推导(id:生活在真实中)
https://blog.csdn.net/HJ199404182515/article/details/88616824

来源:腊八鸭微信公众号(ID:AverageJ1117),作者:AverageJ。

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发表于 2020-7-22 14:24 | 显示全部楼层
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