对称概念：体会非线性力学问题的复杂性

weixin

如果使用坐标选择自由的概念，物理量的对称性与坐标选择无关，因而，保持对称性。这样在张量表达方式上，对称性不变。

但是，对变形运动张量，作为运动的客观描述，谈其对称性在数学上没有本质性含义。在物理上，则完全不同。但这是与经典理论对立的，也就是说，变形张量本身就是物理量。但是，这个物理量在具体坐标下有不同的分量表达方式。很早以前就有很多物理学家指出，简单的对称和反对称分解得到的不是真正的变形张量。

一般地说，数学上的对称要转化为物理上的对称，必须引入各向同性（对易）条件。另外，数学上对称的，完全可以在物理上不对称。反之，物理上的对称并不等价于数学上的对称。

故，变形运动张量这种表达方式是物理的。但是，也的确有工程量纲化概念：取初始系为标准系。因而，工程量纲化后，对称性未必保留（除非增加条件），外在的和内在的是有本质区别的。

这是很有迷惑性的，对混合张量，工程量（如果它是物理本质量的话）的对称性能作为张量的对称性；但是，如果工程量不是物理本质量的话，就不能；反之，物理本质量的对称性不一定能在它对应的工程量形式中得到保留。

过去的物理学家、数学家认为，这对于使用混合张量是灾难性的；因而，直接给出结论：最好不用混合张量。但是，今天物理学家特意的去构造（物理本质量的）混合张量。

时代不同了，对称性概念下降了地位，尽管还有很多人（大多数）在拼命维护。因而，对非线性力学问题，寻求物理本质量的精确定义是关键所在。

变形运动张量F=S+R 的对称性S=各向同性（可逆），而R 就是方向性（极化方向，不可逆）。因而，总能选出好的坐标系，使位移场为最简单化的。

而S 的对称性就解释为：变形的可逆属性；对应的应力也解释为可逆属性（无论是以当前位形为参考，还是以初始位形为参考，得到的应力应变是一样的）。因而，陈至达称之为内在的是得到了其要点。

内在的对称性+内在的转动角是与坐标系选择无关的。但是，在使用位移场表达方式时，很容易造成误解。

读者由此可以体会非线性力学问题的复杂性，这种复杂性是运动的内在对称性决定的。如果找出了运动的内在对称性特征，则问题可以简化而得到解。否则，将与真实解相差悬殊。

因而，对变形力学，现代张量理论的核心考虑是：寻求这样一个坐标系，使得对所求的位移场，转动的效应可以通过单位坐标基矢的调控而消除。以此，获得精确的应变。

抽象的说，可归结为：针对所考虑的实际变形特点，寻求一个内在的与变形的对称性对应的位移（在弯曲系下的位移，而不是欧几里得几何位移）。这种对对称性的追求已经上升为一个物理学上的“定理”：一切物理运动必有其内在的对称性，因而，一切正确的物理定律，必定存在某种对称性。只要找到这种对称性，问题就能大大化简。

在这样一个信念下，对各种具体的物理运动，寻求其内在的与对称相应的坐标系（弯曲的任意系）就是研究运动的本质规律。

这样，现代物理也就归结为：对物理运动的坐标系选择研究，即一般说来的，对物理运动的时-空的几何属性的研究。而如果只是单纯的使用直角坐标系，这种特性是没有可能得到的。

不理解这个最基本的定理，就会得到相反的结论：张量理论把简单问题复杂化。因而，在哲理上理解张量理论是进入现代科学的入场券。而在具体操作上的能力直接决定了一个人解答物理问题的能力。

可惜的是：“坐标选择不应改变给定物理量的对称或反对称属性”这句数学上的不变性要求，在我国被很多力学教科书错误的解释为：“应力、应变的对称性（简单的对称和反对称分解得到的）不因坐标选择的不同而改变”。

事实上，理论物理学界也不过是近十几年才反思这个问题（在自旋的大帽子下，简单的对称和反对称分解得到的不是真正的几何张量）。

来源：肖建华科学网博客，作者：肖建华教授