从Jeffcott转子谈转子动力学与结构动力学的区别

weixin

1、Jeffcott转子横向振动固有频率分析

Jeffcott转子模型

先看几个小公式，相信大学读热能类、机械类、力学类等专业的同学会很熟悉。有人问小编，能不能少放点公式，看到公式就头大。好的，纷繁的推导小编就不写了，只写核心的与结果有关的公式。（要是一个公式都不写，小编也是真心做不到，毕竟不是写言情小说。）

Jeffcott转子定义如下：假设转子的扭转刚度为无限大，即不计扭转振动；轴的弯曲刚度为EJ，E 为弹性模量，J 为截面惯性矩；忽略轴向位移；设圆盘的质量为m，圆盘几何中心（即圆心）为O’，圆盘质心为G，偏心距（也即圆盘质心到几何中心的长度）为e。

水平放置的Jeffcott转子

由材料力学可知，对称的两端简支梁在跨中的刚度为：

其中，l 为两简支梁之间的长度，图中为AB长度。

简支梁的跨中具有集中质量的无质量弹性轴作无阻尼横向振动时的固有频率ω0，如下：

具有集中质量的两端固支简支梁转子

可以看出，无阻尼横向振动时的固有频率ω0 与支承间长度（也叫跨距）l 的1.5次方，轴外径d 的平方，以及轮盘质量m 的0.5次方关系密切。给我们的启示是：如果有一个转子—轴承系统与Jeffcott转子类似，要想提高固有频率（或者临界转速），那么在条件允许的范围内，把轴加粗，把跨距减小，把轮盘质量适当减小，都是可行的努力方向。

相对阻尼系数为：

其中，c 为轮盘上所受到外阻尼的粘性阻尼系数，一般由试验测定。

2、Jeffcott转子的临界转速分析
直接放干货，从这公式中给大家分析我们那些常见的结论是怎么来的。

Jeffcott转子角速度等于自转角速度ω，转子的动挠度r 为：

动挠度r（矢量）与偏心e（矢量）之间的相位差为Φ，令

由此，我们得到了转子动力学教材中经常见到的如下两张图。

幅频特性曲线（左）和相频特性曲线（右）

转子在不同相对阻尼系数ξ 下的相位差角-转速曲线及动挠度的幅值-转速曲线

对于Jeffcott转子，通过dr/dω=0来确定临界转速，常以ωcr 或ωc 表示。

有的教材中通过轴承动反力（也叫支反力或反力）的极值来定义临界转速，显然这和动挠度极值的定义实质是一致的。因为转子动挠度取得极值时轴承动反力也必然取得极值。

得到Jeffcott转子临界转速为：

可以看到，在上图的动挠度的幅值-转速曲线也可看出各曲线的峰值都在ω0=ω 线的右边。对转子动力学而言，圆盘上的外阻尼总使转子的临界转速稍大于其横向固有频率。

在处理实际的转子问题时，为了简单，转子—轴承系统往往按照无阻尼模型来计算临界转速，需要注意的是，阻尼会使实际临界转速略有提高。对于小阻尼情况，可近似认为Ωcr≈ω0。

Jeffcott转子在临界转速状态下，动挠度最大值为：

相位差为：

3、结构动力学及振动力学中固有频率分析
对结构动力学而言，设ω 为作用在结构体上的外力的激励频率，引入：

得到振幅放大因子：

相位差：

我们以s 为横坐标，画出幅频特性beta(s) 以及相频特性theta(s) 曲线：

结构动力学及振动力学系统中的幅频（左）及相频（右）特性曲线

这是结构动力学与振动力学的典型幅频及相频特性曲线，该图信息量很大，我们只说与转子动力学截然不同的一点：幅频特性曲线中的固有频率。

可以看出，随着ξ 越大，从图中所示的ξ=0，0.1，0.25，0.375，0.5到1，也即外阻尼系数c 越大，可以看出，对于有外阻尼的结构动力学与振动力学系统，最大的β 并不出现在s=1处，而是稍微偏左的地方。换句话讲，在结构动力学及振动力学中，由于外阻尼的存在，使得系统的固有频率低于无阻尼系统的固有频率。

4、总  结
  · 由于Jeffcott转子中的特殊性，唯一的轮盘在两刚性支承的中间，因此可以不考虑陀螺力矩对临界转速的影响。无阻尼状态下Jeffcott转子临界转速可视作与其固有频率相同，但对于其他类型的转子，陀螺力矩对临界转速的影响一般不可忽略，这也是与结构动力学和振动力学的不同之处之一。

  · 对转子动力学而言，在有外阻尼存在的状态下，Jeffcott转子临界转速高于其无阻尼状态下的固有频率，该结论同样适用于其他各类型转子。

  · 对结构动力学及振动力学而言，在有外阻尼存在的状态下，结构系统的固有频率低于其无阻尼状态下的固有频率。

来源：DyRoBeS微信公众号（ID：dyrobes）