关于工程力学中的各类变分原理

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物理学的研究表明：物理系统的性状常常使得与其性状有关的某种泛函取驻值，并且该泛函取驻值问题（即变分问题）的驻值条件，通常也就是该物理现象所应遵循的控制方程，例如在力学中已被广泛应用的基于能量原理的各类变分原理，正是建立在这一物理基础之上。

如所周知，在弹性力学中当确认了应变能函数的存在又假定在位移变化的过程中外力保持不变时，根据虚功原理就有最小势能原理成立（这意味着表示系统总势能的泛函取驻值），通过引入Lagrange乘子还可把最小势能原理加以推广，从而产生一整族的变分原理。另一方面，当应力、应变关系能保证余能函数的存在又假定在应力变化的过程中几何边界条件不变时，根据余虚功原理就有最小余能原理成立（这意味着表示系统总余能的泛函取驻值），通过引入Lagrange乘子把最小余能原理加以推广，同样也可产生一整族的变分原理。

上述弹性力学中的各类变分原理都是与以泛函形式表示的系统总势能或总余能取驻值的条件联系在一起的，而且由这些取驻值的条件还可以得到与所讨论问题相应的控制方程，并在此意义上和控制方程等价。

变分原理是工程力学的重要组成部分，在理论上和实用上都具有重要的价值。随着20世纪60年代以来有限元素法的兴起和广泛应用，出现了研究变分原理的新高潮，并因此而波及和影响到了力学和数学的许多分支。

为什么有限元素法的兴起和广泛应用会引发一个研究变分原理的新高潮呢？那是因为对连续体的问题而言，传统的方法通常都是用微分方程来列出它的数学公式，而把连续体的力学量或物理量（例如位移、温度、应力、应变等）设想成为空间坐标的连续函数，并将连续体看作是以上述空间坐标表示的无限多小量的一种集合体。有限元素法则是把连续体划分成为有限量的许多假想元素（即所谓“有限元素”），而将连续体看作是这些有限量的许多假想元素的集合体，来推导有限元素法的公式。这样一来就需要用在每一个元素内光滑、但在整个集合体内（即在整个连续体内）连续而分段光滑的近似函数来代替上述的那些力学量或物理量的连续函数，而这些近似函数又是兼用一些未知参数（例如在所谓元素结点处的这些量的值）和插值函数来构成的。按这种办法，一旦定出了这些未知参数的值，就可以唯一地确定在每一个元素中这些量的分布。这样，我们就可以用控制这些未知参数的许多代数方程来代替原来的微分方程，从而使问题得到简化。

众多的实例早已充分地肯定了变分法是推导有限元素法的，关于这些未知参数控制方程的一个有效而系统的工具。事实上现在有限元素法的数学公式推导中已广泛采用了各种变分原理的结果，反过来有限元素法的惊人发展，也大大地促进了变分原理的发展。例如，在固体力学中的变分原理，已从过去主要只研究弹性力学领域问题而拓展到塑性力学、断裂力学和蠕变理论等领域，并从小变形领域拓展到有限变形领域，从而得到了许多各式各样的变分原理[1-4。

由于变分原理是进行结构分析的重要手段，因此究竟如何才能更方便地从固体力学问题所应遵循的基本方程和定解条件出发，来导出与之相应的变分原理也就成了众多研究者所共同关心的热点问题。因为在一般情况下，这种经典变分法教程中所研究的问题的逆问题，是一个众所周知的难题。例如，上世纪50年代胡海昌、鹫津久一郎针对弹性力学问题，“构造”出了这种泛函，从而建立了所谓的三类变量广义变分原理时，曾被认为是一项重要成就，并被称为胡—鹫变分原理[5、6。进一步的研究表明[1，解决这类问题最方便的途径，是建立一些与所研究的固体力学问题有关的泛函的极值原理。例如现有理论中的最小作用量原理（即Hamilton原理）、最小势能原理、最小余能原理等极值原理，就为建立固体力学中的各种类型的变分原理提供了极大的方便。上面提到的所谓胡—鹫变分原理，如果藉助于最小势能原理和Lagrange乘子法，就可以轻而易举地得到，这已是众所周知的了。

由于现有理论中的上述一些极值原理，原则上都不适用于具有能量耗散情况的非保守系统，因此对于建立像塑性力学或粘弹性力学这类需要考虑能量耗散的固体力学问题的变分原理时，就会比建立分析力学和弹性力学（它们通常不需考虑能量耗散，因而可以利用上述极值原理）的变分原理时遇到的困难要大得多。

例如，塑性动力学现有理论中的Martin变分原理和Тамуж（英译Tamuzh）变分原理[7、8以及粘弹性力学现有理论中具有代表性的Gurtin 和Christensen 的各类变分原理[9、10等，都是通过采用先“构造”出一个泛函，然后再证明满足这个泛函的取极值条件与满足相应的塑性动力学或粘弹性力学问题所应遵循的基本方程和定解条件等价（即问题的真实解答将使该泛函取驻值）的方法（亦即采用与上世纪50年代建立所谓胡—鹫变分原理相同的方法）来建立的。

由于在建立上述塑性动力学及粘弹性力学中的一些变分原理时，对其中所采用的泛函究竟是怎样“构造”出来的这个关键性问题无法作出回答，这样就使得在试图对类似问题“构造”所需要的泛函时完全无章可循。正像钱伟长指出的那样“所有上述工作，都只证明对于特定的问题有一个特定的泛函，通过变分可以全部满足这个问题的一切条件，但都没有讲明他们的泛函是怎样建立的。好像对于建立广义变分原理的特定泛函是一门艺术，带有很浓厚的神秘性”[1。显然，要完成这样一件“带有很浓厚的神秘性”的工作，的确不是一件容易做到的事情。

参考文献[11、12根据最小耗能原理和最小作用量原理，导出了一个可以包含能量耗散项在内的新极值原理——最小功耗原理。根据上述基于最小耗能原理的最小功耗原理，各类力学问题（无论其是否需要考虑能量耗散）的变分原理，都可用在满足所讨论问题的基本方程及定解条件下的、使外力功率（即“功耗率”）泛函表示式取最小值的条件变分问题的形式给出，因此它可作为建立各类力学变分原理的统一理论框架。

参考文献：
[1] 钱伟长. 变分法及有限元：上册. 北京: 科学出版社, 1980.
[2] 胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用. 北京: 科学出版社, 1981.
[3] 鹫津久一郎. 弹性和塑性力学中的变分法. 北京: 科学出版社, 1984.
[4] O C 监凯维奇. 有限元法: 上、下册. 北京: 科学出版社, 1985.
[5] 胡海昌. 弹性理论和塑性理论中的一些变分原理. 中国科学. 1955(4).
[6] Washizu K. On the Variational Principles of Elasticity and Plasticity. Massachusetts Institute of Technology. Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Technical Report 25-18,1955.
[7] Martin J B. Extremum Principle for a class of Dynamic Rigidplastic Problems. Int. J. Solids Struct. 1972.
[8] Tamuzh V P. On A Minimum Principle in Dynamics of Rigidplastic Bodies, Prikl. Mat. Mekb. 1962(26).
[9] Gurtin M E. Variational Principles in the Linear Theory of Viscoelasticity. Arch. Ration. Mech. Anal. 1963(13).
[10] 克里斯坦森 R M. 粘弹性力学引论. 郝松林,等译. 北京: 科学出版社, 1990.
[11] 周筑宝, 唐松花. 功耗率最小与工程力学中的各类变分原理. 北京: 科学出版社, 2007.
[12] 周筑宝, 唐松花. 最小耗能原理及其应用（增订版）. 长沙: 湖南科学技术出版社, 2012.

来源：周筑宝科学网博客，作者：周筑宝。