力学结构的内力与内力图

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一、内力的概念与作用种类

1. 内力的概念

在外力作用下，弹性体由于变形，其内部各点均会发生相对位移，因而产生相互作用力，这种相互作用力称为内力。

如果组成弹性体的物质在弹性体中的分布是均匀而且连续的，弹性体内各部分的内力组成连续分布的力系。

由于整体是平衡的，因此对于截开的每一部分也是平衡的——作用在每一部分上的外力必须与截面上分布内力相平衡，形成平衡力系。

2. 内力的作用种类

对于杆件结构体系来讲，杆件内部的内力分为：轴向作用，即拉力与压力；弯曲作用，即弯矩；扭转作用，即扭矩；剪切作用，即剪力。要明确这几种作用对于杆件产生的变形趋势。

3. 内力的正负规则

对于任何内力，其正负规定的基本原则是一致的：选取左侧截面，并以其法线方向为x轴的正向建立坐标系。

  · 对于轴力，与坐标系同向的轴力为正，反之为负；

  · 对于弯矩，逆时针为正，反之为负；

  · 对于剪力，顺时针为正，反之为负；

  · 对于扭矩，在截面内逆时针作用为正，反之为负。

二、内力的求解

对于任何截面的任何内力，其求解原则也基本一致——以截面截取出的左侧隔离体为基础，对其进行外部的、整体的力学平衡。

  · 轴力：对于轴力，是指杆件横截面上所作用的截面法向力的合力，可以简化至截面的轴线上，作用点即为该截面的杆件轴线通过点，方向为该点的轴线切线的方向。截面法是轴力求解的基本方法，通过截取截面并利用力学平衡原则，可以有效求解出截面的轴力作用。但要注意，截面必须是横截面，即与该点轴线垂直的截面。

  · 剪力：剪力是距离无限接近的相临截面上相互平行错动的作用，是指杆件横截面上所作用的截面切向力的合力，可以简化至截面的轴线上，作用点即为该截面的杆件轴线通过点，方向为该点的轴线法向的方向。截面法也是剪力求解的基本方法，通过截取截面并利用力学平衡原则，可以有效求解出截面的剪力作用。

  · 弯矩：弯矩是促使相临截面一侧相互接近，另一侧相互分离的作用。因此弯矩在截面上产生拉力与压力，拉力与压力共同构成截面力偶。截面法可以求解弯矩的量值，基本方法为选择想要求解弯矩的截面并截开，对于截面左侧的杆件进行力学平衡，以截面中心为弯矩中心，可以消去截面剪力所产生的弯矩作用，直接求解出截面弯矩的大小。

  · 扭矩：扭矩是距离无限接近的相临截面上相互旋转错动的作用，因此扭矩在截面上产生的力也属于剪力。截面法可以求解扭矩的量值，基本方法为选择想要求解扭矩的截面并截开，对于截面左侧的杆件进行力学平衡，以截面轴线的切线为扭转中心线，可以直接求解出截面弯矩的大小。

不同作用产生的相同的内力是可以叠加的。

三、内力图

内力图是指表达的杆件内力变化状况的图形。对于内力图，基本原理是以杆件的左端点为原点，以杆件的轴线为X坐标轴，右侧为坐标正向，内力对于X轴的变化函数图像即为内力图。

1. 绘制复杂内力图的基本方法

(1) 梁的剪力图与弯矩图

作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时梁的横截面上只有剪力Q 和弯矩M 两种内力分量。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分别称为剪力图和弯矩图。

剪力图与弯矩图的绘制方法如下：

  · 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；

  · 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值；

  · 建立Q-x和M-x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中；

  · 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。

(2) 刚架的内力图

由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构，称为刚架或框架。当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即两杆轴线的夹角（一般为直角）保持不变。刚架中的横杆一般称横梁；竖杆称为立柱；二者连接处称为刚节点。

在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。由于弯矩的正负号与观察者所处的位置有关，同一弯矩，在杆件一侧视之为正，另一侧视之则为负。这将给刚架弯矩图的绘制带来不必要的麻烦。

注意到，弯矩的作用将使杆件轴线一侧的材料沿轴线方向受拉、另一侧的材料受压。而且，这种性质不会因观察者的位置不同而改变。根据这一特点，绘制刚架弯矩图时，可以不考虑弯矩的正负号，只需确定杆横截面上弯矩的实际方向，根据弯矩的实际方向，判断杆的哪一侧受拉（刚架的内侧还是外侧），然后将控制面上的弯矩值标在受拉的一侧。控制面之间曲线的大致形状，依然由平衡微分方程确定。

剪力和轴力的正负号则与观察者的位置无关，剪力图和轴力图画在哪一侧都可以，但需标出它们的正负。

绘制弯矩图和剪力图时要注意的几个问题：

  · 确定"控制面"或"特殊面"上的弯矩和剪力时，要应用截面法，用假想截面从所考察的截面处将梁截开。与求拉伸和扭转时的内力一样，切不可将截面附近处所作用的外力当作截面上的弯矩和剪力。特别是对于初学者这一点显得更加重要。当截面法比较熟悉后，可以不必在纸面上画出截开后的图形，但在思想里一定要有截开的概念。

  · 求梁截面上的弯矩和剪力时，梁上的外力不能任意简化。这是由变形体的特点决定的。在研究刚体的平衡或运动规律时，忽略了小变形的影响，因而将外力向任意点简化，对平衡方程没有影响。但是，结构的内力是由于变形引起的，二者紧密相联。截开以前，如将外力简化，则整个结构的变形将发生变化，内力亦因此而异。

  · 截开以后当用平衡条件计算某个截面上的弯矩和剪力时，这又是讨论平衡问题，因而作用在切开部分上的外力又可简化，而对计算结果不发生任何影响。

  · 要注意弯矩和剪力的正负号，正负号不仅关系到所绘制的弯矩图和剪力图能否正确，而且对以后的强度和刚度计算都有很大的影响。

为了避免发生正负号的错误，要特别注意以下几点：

  · 因为弯矩和剪力的正负号是根据它们所引起的变形效果规定的，所以不仅要根据它们的作用方向，而且要考虑它们的作用面，然后根据符号规则确定它们的正负。

  · 对于简单问题，可以直接判断截面上弯矩和剪力的实际方向时，可根据它们的实际方向以及前述符号规则确定它们的正负。

  · 对于比较复杂问题，当不能判断截面上弯矩和剪力的实际方向时，则应先根据前述符号规则假设截面上的弯矩和剪力为正方向，然后由平衡条件计算截面上的弯矩和剪力，若结果为正，则说明假设的正方向是正确的，即弯矩、剪力均为正；若结果为负，则说明弯炬与剪力的实际方向相反，即为负。这样，由平衡方程所得到的弯矩和剪力的正负号与它们的实际情况是一致的。

  · 对于刚架（或框架），其弯矩图的正负号将与观察者的位置有关。为了避免这种矛盾，在绘制刚架弯矩图时，不考虑弯矩的正负号，而是确定截面上弯矩和力的实际方向，根据这一方向即可判断杆轴线两侧，哪一侧受拉，哪一侧受压；将弯矩数值标在受压的一侧。这样，就与观察者的位置无关，人们从弯矩图就可以判断不同截面上弯矩的实际方向，从而收到与标出正负号的同样效果。刚架剪力图正负则与观察者位置无关，因而可以沿用直梁中剪力图的绘制方法。

(2) 剪力与弯矩的微分关系

杆件截面弯矩函数、剪力函数以及连续性和在函数存在着特定的微分关系，可以利用弯矩函数求解剪力函数并进而求解出连续性的荷载函数。另外，还可以根据弯矩图、剪力图中特定的几何形状来判断荷载状况。以下几方面应注意：

  · 集中荷载会产生据有尖点的弯矩图，尖点的指向与荷载方向相同；

  · 集中荷载会使剪力图中发生突变，突变量与荷载量相同，如果杆件从左向右为正向的话，那么突变方向也与荷载方向相同；

  · 均布荷载的剪力图为斜直线，其斜率等于荷载集度；

  · 均布荷载的弯矩图为二次抛物线，抛物线上任意一点的斜率与该点剪力数值相同；

  · 集中力偶作用会使弯矩图发生突变，突变方向与力偶方向相同，但不会使剪力图发生任何变化；

  · 剪力为0处的弯矩达到极值，剪力为0的段落弯矩不发生变化。

四、各类常见结构的受力特点

1. 多跨静定梁

多跨静定梁是简支梁的组合与延续，由于是静定的，因此可以利用基本方程组求解。在求解中要注意分开主要结构与附属结构，先求解附属结构。主要结构与附属结构的衔接节点成为附属结构的支座；反之，该节点对于主要结构来讲成为外力作用。

2. 静定拱结构

拱是曲线轴线的结构，在侧向力作用下，支座处会产生水平推力，其弯矩比相应跨度的梁要小，截面以压力为主、压弯联合的截面应力分布比梁均匀。特别当按主要荷载情况设计为合理拱轴时，结构中弯矩很小，截面主要承受压应力，从而可使拉压强度不等的脆性材料更好发挥作用。但推力对支座的要求提高，用作屋架时或地基很软弱难以承担很大推力时，可改用拉杆承受"推力"。三铰拱是典型的静定拱。

3. 静定刚架

多个杆件成一定的角度互相刚结而形成的结构是刚架，对于刚架的内力分析，要注意每一个连接杆件的计算以及杆件之间的联结方式。

4. 静定桁架

  · 组成桁架的所有杆均为直杆；

  · 各杆均为铰链连接，且铰链内的摩擦略去不计；

  · 载荷均加在桁架平面内，且都施加在节点上；

  · 桁架中杆件的重量比桁架所受的荷载小得多，故可略去不计。

满足上述条件的桁架，其中每根杆都只在端部受力，而端部又是铰链连接，故桁架中的每根杆就是二力杆。

5. 求解桁架各杆内力的节点法

节点法是以节点为平衡对象，通过求出杆件作用在节点上的力，从而求得杆件的受力。因为杆件给节点的力和节点给杆件的力互为作用与反作用力。因此，求得了前者，亦即求得后者。平面桁架中的每个节点所承受的都是平面汇交力系，因此，根据每一节点的平衡条件即可求得各杆的受力。

采用节点法解题时，应注意以下两个问题：

  · 因为每个节点所承受的都是汇交力系，只能提供两个平衡方程，每个节点只能解出两个未知力。解题时，应从只有两个未知力的节点开始，然后按照这一原则，依次考虑各个节点的平衡。对每个节点应用平衡方程时，若坐标选择得合适，可以用一个方程解一个未知力，而无需解联立方程。当支座约束力为未知时，应先考虑桁架整体的平衡，求出支座约束力后，才能应用节点法求解。

  · 在解题过程中要注意区别拉杆和压杆。在节点法中，凡作用在节点上的力指向节点的，则杆件受压；作用在节点上的力背向节点的，则杆件受拉。如果在解题过程中，将未知力都假设为背向节点的，那么所得结果为正，则表明杆件受拉，所得结果为负，则表明杆件受压。

6. 求解桁架各杆内力的截面法

截面法是用假想截面将桁架截成两部分，在截开处用杆件的相互作用力（称为杆件内力）代替两部分的相互作用，然后考虑其中任意一部分的平衡，即可直接求得作用在杆件上的内力。

采用截面法解题时亦需注意几个问题：

  · 因为截出部分的受力为平面力系，可以提供三个平衡方程，即每截出一部分只能解出三个未知力。所以，第一次所截割的杆不能超过三根，以后所截割的未知力的杆亦不得超过三根。

  · 建立平衡方程时，可采用平面力系三个力矩平衡方程，而力矩方程的力矩中心尽量选在二杆的未知力作用线的交点，以便在一个力矩方程中只出现一个未知力。

  · 解题时各杆受力均假设为拉力，若所得结果为正，则杆受拉；若所得结果为负，则杆受压。

来源：CAE技术联盟微信公众号（ID：caejslm）