对分析动力学的一些理解

weixin

一个自由质点的位置在空间中的位置需要三个坐标确定，一个质点系里面若有n 个质点，当然就需要3n 个坐标确定了。也就是说一个包含n 个质点的质点系的位形对应了3n 维空间中的一个点，在这3n 维空间中取定一组线性无关的基底，这3n 维空间中的一点就对应某时刻质点系的一个位形。

但是一般而言，质点系都会受到约束，使得这3n 个坐标不能独立地变动。设有s 个完整约束，那么可以独立变动的坐标就只剩下k=3n-s 个，叫做自由度。这k 个坐标不一定只取直角坐标系下的分量，可以灵活选取，如角度、距离等，我们把选取的这k 个能够确定质点系在约束下的位形的相互独立的坐标，叫做广义坐标。

要注意的是，后面我们可以选取不独立的广义坐标，然后在拉格朗日方程中是带约束的。还要注意的是对非完整约束，因为是对速度有约束，所以独立的坐标变分数只有k=3n-s-m 个，只有k 个自由度，m 是质点系受到的非完整约束个数。自由度的定义是独立的坐标变分数，对完整约束，独立的坐标变分数和独立的坐标数相等。

我们的目标是要找到这个受约束质点系（或称之为系统）的动力学方程，一般是关于时间变量的常微分方程组，求解这个常微分方程组就可以得到坐标（或广义坐标）关于时间的显示表达式（或关系），那么系统的位形随时间的演变规律也就知道了。

那么，我们怎么得到系统的动力学方程呢？牛顿告诉我们，在每一时刻（或瞬时），质点系中的每个质点在主动力和约束力作用下会有一个加速度，这个加速度可以由牛顿第二定律在已知外力（主动力和约束力）的情况下求出来：

我们希望把约束反力去掉，建立不出现约束反力的运动方程。把Fi 分解成两部分：

其中，miai 是改变质点运动状态的有效力，Ri' 是对改变运动状态不起作用的损失力，显然损失力和约束反力相平衡：

接着要引入理想约束的假设，这是分析力学的基本假设，理想约束是指约束反力在虚位移上做功的和为零：

注意，是只要求功的和（或净功net virtual work）为零，而不用要求对每个质点受到的约束反力与虚位移方向垂直。关于这点可看参考文献[2]。

正是因为有理想约束的假设，我们要在方程中消去未知约束反力，可以从做功的角度出发。要注意的是，在有摩擦存在时，摩擦力做功肯定不等于零，这时可以把摩擦力放在主动力Fi 中。

由上两式可得到D'Alembert-Lagrange方程，又叫动力学普遍方程：

上面是适用于动力学的D'Alembert's principle，当ai=0时，变为适用于静力学的principle of virtual work。

动力学普遍方程只用到理想约束的假设，所以既适用于完整约束也适用于非完整约束；既适用于定常约束，也适用于非定常约束。将上式用另一种形式表达，得到普遍的中心方程。作如下变化：

上式中

将上述变化代入动力学普遍方程得到：

上式中，等式右端第一项是动能的变分δT，第二项是主动力的虚功δW，因此，可表示为下面的普遍的中心方程：

对于只受完整约束的系统，由于微分和变分可以交换次序，等式右端第三项可以消去，得到中心方程（不普遍），因为只适用于完整系统，不适用于非完整系统。

Lagrange方程是用广义坐标表示的普遍中心方程。

参考文献：
[1]《分析力学》 黄昭度 纪辉玉
[2]  "Ideal Constraints - A Warning Note " by Antonio S de Castro

来源：博客园，作者：huangzc。