拔河中的力学浅析

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拔河是我国群众喜闻乐见的团队竞技（娱乐）项目。在我国，拔河起源于2000多年前春秋时期的楚国。据《墨子·鲁问》记载，在楚越战争期间，由于越国位于楚国下游河流，战事失利时可顺流而退，鲁班为帮助楚国发明的“钩强”，在越国顺流而退时，“钩强”可以“钩”住逃跑的越国船只；并且在越国进攻猛烈时，还可以用来顶住来进攻的船只。后来，为了训练这一战术形成一种称之为“牵钩”的游戏（训练方法）。据唐朝封演（生卒年不详，今河北景县人）《封氏闻见记》中说：“拔河，古谓之牵钩，襄汉风俗。”说明，拔河这一名字至少在唐朝时就已经正式使用了。

世界上许多国家都有拔河运动，只是规则不尽相同。1900-1920之间，拔河还是奥运会比赛项目，1920年奥运会上由于缺乏统一规则而发生激烈争吵，之后奥委会经表决将拔河从奥运竞赛项目中去除。1960年，英国、瑞典拔河协会制定了国际拔河比赛规则，并成立了国际拔河联合会 (Tug of War inInternationaI Federation，TWIF) 正式成立，1964年在巴尔干运动会上组织了首次国际拔河比赛，1965年开始举办欧洲锦标赛，1975年开始举办世界锦标赛。此后欧洲锦标赛和世界锦标赛每年交替进行，让拔河重返奥运一直是该协会的重要工作之一。

拔河正式比赛用绳截面周长为10-12.5厘米，总长度不得少于33.5米。绳上不许打结或其它任何有助于运动员握持的东西。比赛时每队8人，按全队运动员的总体重分为480、520、560、600、640、680、720及720公斤以上等8个级别进行比赛。比赛种类有室内赛和室外赛、男子组与女子组、成年组与少年组等。比赛时（请参见下图），只要将下图中红色标线拉过自己一方白线位置 (2m) 即获胜。本文试图从力学角度分析一下拔河技巧中的力学技巧。

拔河实际就是在比较双方谁使的力更加有效（拉动对方）。根据牛顿第三定律，双方所受的力是始终相同的，所不同的是同样的力施加于双方产生出了不同的效果，这就体现出双方运动员使力的技巧性。

为了简便起见，我们先分析一对一的比赛，假设在比赛中人向后倾斜角度为θ，拉绳与水平线的角度为γ，为了分析上的简化，并假设绳拉力作用线距离人重心O 的距离为L0，而重心距离脚底距离为L，如下图所示。

列出平衡方程，如下：

  · 水平方向：

  · 竖直方向：

对O 点的矩平衡：

假设人可以保持形态不变，如图所示不发生倾倒，此时受力平衡由平衡方程（水平方向和竖直方向）决定，求解FL，得

画出γ∈(-30°,30°) 时，先假设μ=0.1时，计算绳上的拉力FL，如下图所示

可见，当绳子拉力的倾斜角度大约为6°时，最为省力。这里特别注意，这个6°角要让对方形成（容易拉动），此时自己一方的绳子的倾斜角度为-6°。

还有，这个结果的前提条件是μ=0.1，当μ 逐渐增大时，这一角度会逐渐增大。分别考虑μ 为0.2，0.3，0.5，画出绳拉力曲线，如下图所示

μ=0.2，最省力角度大约为11.5°

μ=0.3，最省力角度大约为16°

μ=0.5，最省力角度大约为29°

似乎总结出这样一条规律，随着摩擦系数的增加，最省力的拉绳角度将越来越大。根据实际情况，由于这一倾角不会超过10°（我估计的），并考虑普通的橡胶鞋与地板的摩擦因数大于0.7，这将意味着在拔河比赛中，除了体重以外，身高也将具有较大的优势。

此外，我们再来考虑如何才能不被拉动。对方拉不动自己，就希望自己的摩擦力比较大，根据最大静摩擦力的求解公式f=μFN，当运动员穿的鞋确定后，μ 就是确定的，只能想办法FN。考虑平衡方程

将f=μFN 代入，求出FN，得

为了简便起见，设FL，L0，L，γ 均为常数时，并且γ=10°，此时，FN 的值就与身体的倾角θ 有关，画出系数cos(θ+γ)/cosθ-μsinθ 的曲线，如下：

在给定条件下，55°时得最大系数为554

在给定条件下，48°时得最大系数为608

在给定条件下，45°时得最大系数为1019

这里，似乎可以总结出，如果鞋底摩擦系数大时，身体向后倾斜的角度θ 较小时可获得较大的摩擦力。这说明拔河比赛中鞋底质量非常重要。

通过简单的力学分析，可以发现，拉绳的倾角γ，身体倾角θ，以及鞋底的摩擦因素是拔河中重要的影响因素。如果确定了鞋，摩擦因数随即确定，就在于拉绳的倾角γ 和身体倾角θ，这是体现了运动员的技巧训练。最后，由于拔河是团队竞技，众人协调一致的配合，对对方疏漏的利用都将会成为获得胜利的重要因素。

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟 太原科技大学。

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