名义应力、工程应力与真实应力

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在《材料力学》中，应力和应变分别定义为：单位面积上的内力和单位长度的改变量。用公式表示分别为：

为什么要定义应力和应变呢？

应力、应变在表征材料强度和变形能力中具有很强的实用性。

假设有A和B两种材料，用材料A做成直径20mm的圆棒试样，材料B做成直径为10mm的圆棒试样，材料A在50kN的拉力下被拉断，材料B在45kN 拉力下被拉断。

但我们并不能说材料A的承载能力就比材料B的承载能力高。为什么呢？我们根据以上的公式（1）可以求出两者的最大应力：

可见，材料B比材料A有更高的承载能力（3倍还多），只是因为试样B截面积较小才在较小的拉力下断裂，因此用“单位面积上的内力”就消除了试样截面尺寸的影响，得到材料的本身属性。

变形方面也是这样，还是材料A和B，假设其截面相同（直径10mm），但试样长度不同，材料A长为200mm，材料B长为250mm，假设在45kN下两种材料的伸长量都是0.2mm，同样我们也不能就说材料B具有和材料A相同的变形。按照应变的定义，有

在相同的外力下，两个样件产生了相同的伸长量，我们能说两种材料有相同的变形能力吗？不能，实际上材料A的变形要多一些。可见，应变通过“单位长度的变形量”消除了比较材料变形能力时的试样长度影响。

万能试验机（来源于网络）

材料强度和变形的测定一般用万能试验机来测定（如上图），将标准样件安装在上下两个夹具之间，通过力传感器和位移传感器，测出在拉伸试件过程中力的变化和样件的伸长量，并将其画在“力-伸长量”的坐标系内，将其分别除以截面面积和试件长度可得到“应力-应变曲线”。

下图所示为低碳钢拉伸曲线，由于它具有弹性变形、屈服流动、强化、颈缩四个典型的材料变形特征，因此常被用来说明材料的变形过程。

低碳钢拉伸曲线（来源于网络）

需要强调的是，按照前面应力、应变的定义，将拉力P除以试样面积A0，将伸长量

∆L除以试样长度L0，所得到的应力、应变，实际上有很大的问题，主要集中在颈缩阶段。在这个阶段，试样面积急剧减小，但是应力求解还是利用拉力除以原始截面面积A0，这就产生了错误！同样，试样在拉伸过程中，长度不断增加，但求解应变还是用伸长量除以原始长度L0，这也是不对的。因此，这样求出来的应力应变并不是真实的应力、应变，只能算是名义上的应力、应变，因此称之为名义应力和名义应变，大概是工程使用上比较方便，也称为工程应力和工程应变。

而真实的应力、应变称为真应力和真应变，需要以瞬时的截面面积和瞬时的试样长度为标准去定义。假设试样原始长度为L0，变形终了为Lf，变形过程中任意瞬时为Li，同样的下标也用来标识变形过程面积A。另外P表示瞬时的载荷，任意瞬时的真应力S定义为：

假设材料体积不变，即有

上式可推导出真应力：

对于真应变，设试样在加载过程中的变形的微增量为dl，则微变形过程中真应变为：

假设样件从L0变形到Lf，则总变形量为：

如果用真应力、真应变表示低碳钢的拉伸曲线，在颈缩阶段，真应力也是在上升的，如下图所示：

从式(2)和(3)可以看出，虽然名义应力和名义应变不是真应力和真应变，但它们却可以用来表达真应力和真应变，真应力是名义应力的(1+ɛ)倍，应变是(1+ɛ)的自然对数。真应力说明颈缩阶段，加在材料上的应力其实并没有减少。真应变可以合理的解释分次加载时应变的可叠加性。

例如，有一试样两次拉伸，原长为L0，第一次伸后长L1，退火后继续拉伸(退火保证两次材料性能一致)至L2，第一次拉伸的应变为：

第二次拉伸的应变为：

如果一次性拉伸试样至L2，则求解应变为：

我们发现：

这与事实不符，怎么会一次拉完和分两次拉会不一样呢！

但如果我们考虑真应变，就可以保证两次加载后的真应变可以叠加，如第一拉伸后的真应变为：

第二次拉伸后真应变为：

如果一次拉伸试样至L2，真应变为：

叠加两个真应变，有：

可见，真应变满足多次加载时应变的叠加性。

实验中很难直接直接测量出真应力，因为样件的截面积随时在变，很难实施跟踪，所以，现实中要获得真实应力，比较快捷的方法就是用公式（2）进行推导。

最后来总结下：

以实验拉伸样件为例，名义应力（Nominal stress）亦称工程应力，不考虑材料本身的截面变化，较粗糙。真应力（Real Stress）考虑材料本身的截面变化，较精确。

所以，你的有限元模型里，用的是名义应力应变曲线呢，还是真实应力应变曲线？

Tips：

1、如果你的模型不涉及大变形的话，变形都是微小应变，名义应力和真实应力差距不大，没必要区分。

2、如果你的模型设计大变形，那么名义和真实模拟出来的差距就比较大了。

3、以上推导仅针对于一般金属零件，且基于材料的不可压缩假设。