从材料的极限长度说起

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在前苏联别莱利曼写的《趣味力学》中，有一段关于材料强度的话：

每一条金属丝都有一个极限长度，到了这个长度便会由于自重断裂。在这里加粗金属丝是没有用的，因为把直径加倍固然可以使它经受住四倍的重量，但是它的重量也增加到四倍。极限长度与金属丝的粗细无关，只看它是什么材料制成的：对于铁是一个极限长度，对于铜是另一个极限长度，对于铅又是一个极限长度。

接着，别莱利曼列出了几种常见金属、极限长度：

  · 铅丝：200m

  · 锌丝：2100m

  · 铁丝：7500m

最后，别莱利曼还计算根据当时具有的强度最大的材料合金钢丝来说，它的极限长度是8800米，要想用它探测深海，还差一大截，因为海洋的最深处超过一万米。

别莱利曼说的是当金属丝是等截面的情形，我们要问，用不等截面的金属丝，在自重之下长度是否能够超过极限长度？答案是肯定的，而且能够无限长！

下面，我们就来讨论如何做到。
如图，取 z 轴向下为正，令金属丝的半径为r，它是坐标 z 的函数。

我们知道在坐标 z 处它的半径为r，于是金属丝的截面积就是πr 2。再设金属材料的密度为ρ，材料的需用应力为σ，于是在 z 以下的金属丝的总重力应当是

这里g 是重力加速度。我们希望这根金属丝是等强度的，即在每个截面上的应力都是许用应力σ。这样就应当是总重被截面积去除，也就是

亦即

两边同时对 z 求微商，我们就得到微分方程

即

这个方程的解是

这里r0 是当z=0时金属丝的半径，由这条曲线绕 z 轴旋转所成的物体，就是我们要求的自重下的等强度金属丝。

从解式看出，当金属的强度愈大，一般说它的允许应力也愈大，截面的收缩愈慢；而当金属的密度愈大，截面的收缩就愈快。

还应当注意的是，截面只是相似的，例如可以是正方形、三角形等，其特征尺寸变化如上式，也是等强度的。而且可以证明，当r0 给定时，得到的金属丝的总重量是有限的。

需要说明的是，上面的结果是理论上的结果。其实当截面细到一定程度后，再谈它的承载力是没有意义的。不过，有这个结果指导，在实际问题中已经可以做到满足任何实际需要的长度了。

上面我们讨论的是铅垂的金属丝在自重下拉伸的简单问题。在实际中，结构是复杂的，例如，人们竞相建造高度很高的建筑物，一次次突破以前的高度记录。建造高而又高的建筑物，要考虑的受力就要复杂多了，有自重、风载、地震载荷，还有生活在其中的人和有关的附属物所造成的载荷。我们问，最高的记录能有多高？还有，桥梁的跨度会有极限吗？飞机起飞重量有极限吗？等等，这一连串的问题，都是值得我们思考的。

来源：武际可科学网博客，作者：武际可 北京大学力学系。