关于屈曲分析的原理

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位移和大位移
小位移在利用欧拉公式计算时，属于线弹性计算，忽略了结构的变形对结构的影响，结构的刚度矩阵是不变的。而实际上，结构的变形是可以影响荷载的作用效应的，如下图所示。

对杆件施加一定的荷载后，杆件会产生相应的变形，在这个变形的基础上，荷载会继续作用在这个（刚度矩阵）已经改变的杆件上，从而导致二阶变形。

为了更好理解，用银行利息的例子比喻一下这个现象。比如，拿一万元钱作为荷载，施加到银行这个杆件上，那么它会产生相应的利息。之后在这个本金加利息的基础上，再次对银行施加荷载以获取进一步的利息。这就是大位移：几何非线性的，考虑了结构变形的影响。小位移和大位移的计算公式如下。

移应变关系：
  · 小位移：

· 大位移：

载荷位移关系：
  · 线性：

  · 非线性：

式中，KE为弹性刚度矩阵，跟弹性模型、截面特性有关；KG 为几何刚度矩阵，与结构形状、外荷载有关。

几何刚度
在大位移计算中，考虑了结构变形对荷载作用效应的影响，也就是结构刚度的改变，于是引入几何刚度的概念。

同样用一个比喻来帮助大家理解几何刚度的概念，就是拔河。

在大家的感性认识中，绳子在张紧（受拉）状态下的刚度是不是要比松弛（不受力）状态下的刚度大呢？而实际上，绳子的弹性刚度是没有改变的，所以随着外力的改变，我们引入几何刚度来描述这一现象。

计算原理
Midas的线性屈曲分析可计算包含桁架单元、梁单元、板单元、实体单元的结构的临界荷载系数和相应的屈曲模态，结构的静力平衡方程如下。

式中，[K ] 为结构的弹性刚度矩阵，[KG ] 为结构的几何刚度矩阵，{U } 为结构的位移，{P } 为作用在结构上的荷载。

结构的几何刚度矩阵由各单元的几何刚度矩阵构成，各单元的几何刚度矩阵与构件的内力相关。

式中， 为各构件的几何刚度矩阵，F 为构件内力。

将几何刚度矩阵用临界荷载系数与使用初始荷载计算的几何刚度矩阵的乘积表示，如下：

式中，α 为临界荷载系数，[KG ] 为使用失稳分析所用的初始荷载计算得几何刚度矩阵。

上述平衡方程失稳的条件是存在奇异解，即等效刚度矩阵的行列式的值为零。

  · 非稳定的平衡状态：

  · 失稳状态：

  · 稳定状态：

即线性屈曲分析就是解下式的特征值，屈曲分析中的特征值就是临界荷载系数。

式中，λi 为特征值（临界荷载系数）。

所谓临界荷载，就是初始荷载乘以临界荷载系数的荷载值，表示结构作用临界荷载时结构会发生屈曲（失稳）。结构失稳时常伴随大位移变形和材料屈服，所以屈曲分析常要求考虑几何非线性线或材料非线性。

来源：施工技术加油站微信公众号（ID：wzltxdy1218），作者：迈达斯施工事业部。