弹性力学之：什么是无限大体

weixin

在弹性力学等课程中，经常会提到无限大体、半无限大体，以及无限大平板（平面）、半无限大平板（平面）等概念，那么这些概念应该怎么理解呢？本质上，可以将无限大和半无限大视为一种特殊的边界模型，利用这些模型，弹性力学问题可以极大的得到简化。

图1 弹性力学问题与微元体

从理论体系来看，弹性力学以微元体为研究对象，建立弹性力学的基本方程。对于空间问题，微元体上独立的应力分量和应变分量各6个，位移分量3个，共15个未知量。依据平衡原理、几何变形原理、广义虎克定律，可建立3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程，共15个方程，构成 “15个力学量+15个方程”的空间弹性力学基本体系。

对于平面问题（如二向应力状态，平面应力问题）应力分量3个，应变分量3个，位移分量2个，就成为“8个未知量+8个方程”的体系。对于单向应力状态，应力、应变、位移各1个，可建立3个方程，就成为“3个未知量+3个方程”的体系。

由于弹性力学以微元体为研究对象，微元体就可以组成各种各样的结构，所以弹性力学就突破了材料力学局限于杆、轴、梁三类结构的限制，可以求解板、壳、块体等，任意形状弹性体的变形分析。而具体的弹性体的形状是由边界条件来确定的，如下简支平板（平面应力问题），有6条边界，一方面分别边界可以通过其所在直线方程确定位置，另一方面还可以写出边界上的面力或者位移，成为弹性力学问题的定解条件。

图2 受均布载荷的平板

可以认为“基本方程+边界条件”就是弹性力学体系，其中“平衡方程、几何方程、物理方程”给出弹性体所需要满足的方程，“边界条件”则给出弹性力学问题的定解条件。边界条件对于求解弹性力学问题十分重要，如果不清楚边界条件，由于弹性力学基本方程是微分方程组，所以只能得到通解，而得不到确定的解。

然而，复杂边界条件的求解有时会异常困难。例如，有一列波在弹性体中传播，碰到边界时会发生反射、透射等现象，但是当这个边界处有许多尖裂纹时，求解这样的问题就会比较困难。对于一些体量较大的弹性体，可以将其视为无限大体，从而忽略边界条件的影响。

当研究问题与其所属的弹性体相比很小时，就可以将其视为“无限大体”。例如，研究地球内部的受力，内部远离地球表面，此时就可以把地球看作是无限大体中某一很小的局部的受力，我们可以取出其中一部分，以应力分布代替边界面力来求解。无限大体在处理波动问题时优势更加明显，假设地球内部有地震波传出，如果只需要考察地震波在传播过程中的特点，可以想象地球是一个无限大体，无论地震波往哪个方向传播，都不会碰到边界，就永远不需要考虑地震波碰到边界时的反射、透射等复杂情况，简化波动问题的分析过程。

理解“无限大体”要把握“研究部分与其所属的弹性体相比很小”，并不一定是地球这样大的弹性体材料才能视为无限大体。比如一块厚钢板内部有一球形空隙，要研究空隙周围的应力，同样也可以将厚钢板视为无限大体。

“半无限大体”可以想象为把一个无限大体从中切一刀，分成了两个半无限大体，它的特点是具有一个边界面，在这个边界面一侧弹性体无限延伸。例如，在地面上盖一座大楼，分析大楼对大地的影响，从地面往上是空气，地面往下是大地，大地无限延伸，大地就是一个半无限大体。相反的情况，如果地下有隧道、溶洞等，就不再是半无限大体，问题的处理也会变得复杂起来。

理解了“无限大体”和“半无限大体”，“无限大平板（平面）”和“半无限大平板（平面）”可以认为是平面问题中的“无限大体”和“半无限大体”。如在墙体上开一个小孔，分析孔周围的应力分布。当墙可以视为平面问题时，由于小洞相对于墙体很小，墙体就可以看作是无限大平板（平面）。但是，当这个孔出现在墙体的边缘部分，就可以将其视为“半无限大平板（平面）”边界上存在一个小孔。

“无限大体”和“半无限大体”是针对于特定的力学问题抽象出来的力学模型，在该模型下，分析问题的边界条件得到了简化，从而使问题的分析与求解得到简化。另一方面，“无限大”和“半无限大”有时还可以使问题降维，使问题得到简化。如考虑半无限大体（也称为半空间体），容重为ρg，表面受均布载荷q，按位移进行求解。

图3 半无限大体受均布载荷

该问题为一三维问题，写出三维空间问题的位移平衡方程，如下：

其中，

由于为半无限大体，该问题可以简化为一维问题。可以证明，该半无限大体只有z 方向的位移，而没有x，y 方向的位移，同时该位移也只与z 坐标有关，而与x，y 坐标无关。采用反证法，设其有水平位移。半无限大体可以画出无数多条对称轴，如图中的Z1，Z2，Z3 三条轴，若以Z1 为对称轴，设半无限大体上的质点同时远离（或靠近）Z1 轴，同样对于Z2 Z3 也同样会远离（或接近）该轴，这将产生矛盾，因此质点只能产生z向的位移，不会有水平位移。由于水平面上无限大，在水平方向上各点都等价，所以z 方向的位移 w，也只与z坐标有关。因此，半无限大体的问题就退化为一维问题，只有位移函数 w(z)，简化后得

可见，三维问题变成了一维问题，偏微分变成了常微分，该问题的求解得到了极大的简化。

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟 太原科技大学。