关于三力平衡定理

哼哼

哈工大理论力学教材(高等教育出版社)中是“三力平衡汇交定理”，但有些材料里是“三力平衡定理”，少了“汇交”二个字，定理的范围稍微大一点。

定理 F1,F2,F3作用于同一刚体时保持平衡，则有:
（1）F1,F2,F3同处于一个平面内
（2）三个力要么相互平行，要么作用线汇交于一点。

证明 先证明(1)。采用反证法，假定三个力不处于同一个平面。只有这两种情形：
情形甲，有两个力处于同一平面上，第三个力不在这个平面上；
情形乙,  任何两个力都不在同一个平面上。

先看情况甲。不妨设F1和F2位于同一平面，如图1中所示。记F1和F2构成面的法向为n，则F3在n上的投影必为0,因此F3只能平行于F1和F2所组成平面(见图1)。

在F1和F2所构成的面内总可以找到一根与F3垂直的η轴。对η轴写矩平衡方程。显然F1和F2对η轴的矩为零，所以F3对η轴的矩也必须为零，那么只有F3也在F1和F2构成的平面内才有可能。

综上，情形甲不成立。

再看情形乙。不妨设F1和F2不处于同一个平面，也就是它们为异面关系(如图2)。两矢量F1xF2叉乘有个方向n, F3向n投影可知F3与F1和F2均异面(情形乙的假定排除了平行情形)。

因为F1和F2是异面，而两条异面直线上可以各自找到一点C和D，它们距离最近(C和D连线垂直于F1和F2)。显然F3必然过CD(或延长线，见图2)，否则对CD轴写矩方程必然不平衡。

E为F3和CD的交点；η为CD矢量方向。

现在对C点写矩平衡方程有：
CDηxF2+CEηxF3=0
即:ηx(CDF2+CEF3)=0。
因为F2和F3与η垂直，所以CDF2+CEF3不可能与η平行。这样就必然要求CDF2+CEF3=0。这就要求F2=-CE/CD F3。进一步就要求F2和F3平行。

F2和F3平行与情形乙的假设“ 任何两个力都不在同一个平面上”冲突，所以情形乙不成立。

因为情形甲和情形乙都不成立，所以“假定三个力不处于同一个平面”被证否，也就是三个力必然处于同一平面。

再来看定理的第(2)点。如果两个力作用线汇交，则第三个力也一定通过交点(且三力在同一平面)。这在哈工大教材第一章的公理三的推论中已经叙述。

如果其中两个力作用线没有汇交点(平行)，则沿平行线的垂直方向投影可知第三个力也必须平行于前两个力。