关于弹性理论的建立

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弹性理论的建立，可以追溯到1687年英国科学家胡克 (Robert Hooke，1635-1703) 发现了材料的弹性性能，并给出了胡克定律。胡克认为许多材料都具有弹性性能，且加载时，材料的位移与力之间存在着简单的线性比例关系，他曾认为一切物体都是由很小的微粒组成的，这些微粒通过“弹簧”相连，拉伸或者压缩材料时，“弹簧”会被拉伸或压缩，形成宏观上的材料变形，同时产生在材料内部形成的“反作用力”（这可用图1所示的模型来理解）。

图1 固体材料的微粒与弹簧模型

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和胡克观点类似，当时还盛行着弹性体的分子理论，该理论认为物体内的弹性可以解释为材料最大质点之间的吸力和斥力（或称为分子力），在任何两个最大质点之间沿着它们连线上作用的力在某些距离上是吸力，而在另外一些距离上则是斥力，还有一个平衡距离，该处力消失为0。

在弹性力学的建立过程中，纳维首先采用分子理论建立弹性理论；而后柯西给出了应力、应变的概念，重新推导了弹性理论；最后，拉梅对弹性理论进行了完善。本文主要以3人对弹性理论的工作为线索，了解弹性理论的建立过程，并理解应力、应变、拉梅常数等概念的作用和背景。

纳维的弹性理论

纳维 (Claude-Louis-Marie-Henri Navier, 1785-1836) 研究采用分子理论研究物体中微粒的受力，假定物体上一点P(x,y,z)，其位移矢量为 (u,v,w)，而与之相邻点P1(△x, △y, △z)，位移矢量为 (u+△u, v+△v, w+△w)。设两微粒连线（即两点的连线）（近似为r 或r1）与x、y、z 三个坐标轴的夹角余弦函分别为α、β、γ，变形前两微粒之间的距离为r，变形后为r1，则两微粒之间的改变距离可表示为：

这里，我们对上式稍加解释一下。在高中学习矢量时，如图2所示，把 定义为向量 在向量 方向的投影，cosθ 为向量与向量的方向余弦，可见一个向量乘的模乘与另一个向量的方向余弦，就是这个向量在另一个向量方向上的投影。再回到上式中，α 与r 方向与x 轴的方向余弦，则α△u 就将△u 投影到了r 的方向，同样β△v 将△v 投影到r 方向上，γ△w 将△w 投影到r 方向，三项相加，得到r 方向上的改变量。

图2 矢量点积示意图

仿照弹簧的胡克定律，两微粒之间的力F 表示为

这里，f(r) 类似于弹簧的劲度系数，但它不是常数，与两微粒间的距离相关，随r 的增大而迅速减小。纳维将△u，△v，△w 利用泰勒级数展开。这里为了便于证明，我们先展开到一阶。

其中，则△x，△y，△z 依然可以用方向余弦表示为

将△u，△v，△w 利用泰勒级数展开的一阶公式带入上式，得

注意， 6个量就是应变分量，后来柯西 (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857) 对上述6个量进行了定义，命名为应变，即：

此时，纳维只是希望找到固体力学与变形的关系。对△u，△v，△w 利用泰勒级数展开的一阶公式，展开到二阶，我们以第一式△u 展开为例说明。

把

代入两微粒之间的力F 公式，得

将上文中6个应变公式乘以其坐标轴的方向余弦，可得在各方向上的分量，如αF、βF、γF 分别为x、y、z 三个方向上的投影。如要计算质点P(x,y,z) 的总力，就需要将质点P 作用范围内所有质点的力进行叠加，可以想象这包含了P 周围各个方向上的所有质点与它产生的力，这里必须假设材料的各向同性，在不同方向上都遵循6个应变公式的关系，纳维经过积分，得到P 点的所有的合力如下

下式中点P 的合力应该与其所受的外力相平衡，

则有

这里，X,Y,Z 为作用在质点P 上的外力分量。

上式就是纳维导出的各向同性弹性体的平衡微分方程，显然，根据纳维的假设只需要一个常数C。此外，纳维还指出如果将惯性力项（由加速度产生）加到外力X,Y,Z 上，就可以得到弹性体的运动微分方程，并利用虚位移原理导出了弹性体的边界条件。

柯西的弹性理论

纳维的工作很快就引起了柯西的注意，开始专注于弹性力的理性分析。早在1705年，雅各布·伯努利 (Jakob Bernoulli, 1654-1705) 在研究梁的变形时，认为描述材料纤维在拉伸作用下的变形，需要借助于单位面积上的力和纤维单位长度上的伸长量，而且力是变形的函数。1713年，帕朗 (Antoine Parent, 1666-1716) 在研究梁变形中，意识到梁截面上的力可以分解为垂直于截面方向和水平与截面方向的，提出了剪应力的概念，不过，由于帕朗的影响很小，他的学术并没有引起关注。库伦 (Charles-Augustin de Coulomb, 1736-1806) 将帕朗的这一概念应用于研究土的失效 (1773) 和摩擦 (1779)。1752年，欧拉 (Leonhard Euler, 1707-1783) 还借用流体压强的概念来理解固体材料内部的压力。这些研究为柯西提出应力、应变的概念奠定了基础，柯西舍去了纳维从质点推导平衡方程，他借用了欧拉在平面上压力的概念（正应力）以及帕朗剪应力的概念，从弹性体中取出一个无穷小的平面单元，如图3中的斜面，斜面上的总应力可以认为是质点对另一边质点作用力的全部合力。

图3 柯西斜面单元

斜面上在x、y、z 坐标方向上的三个分量Xn、Yn、Zn 可由三个方程给出

继续可以求出斜面上的正应力和切应力为

柯西指出从原点出发，每个方向上做出一个向量r，且r=√1/|σ|，这些向量的端点将位于二次曲面上，该曲面的主轴方向即为应力主方向，相应的应力称为主应力。给出应力的概念之后，柯西又给出了应变的概念，柯西也给出了由大到小为r=√1/|εr| 的向量端点描绘的二次曲面，定义了主应变方向和主应变。

然后，柯西利用一个矩形六面体单元（如图4所示）推导出了平衡微分方程，即

图4 六面体单元

并给出了应力分量与应变分量之间的关系，如下

至此，柯西建立了弹性力学的全部基本方程，式(13)所示的平衡方程，式(6)所示的几何方程，柯西利用矩形六面体单元推导出了平衡微分方程所示的物理方程，这就是我们现在所学《弹性力学》的基本方程。人们为了纪念纳维和柯西的贡献，将平衡方程称为纳维-柯西方程，几何方程称为柯西方程。

特别是柯西提出的应力、应变概念，19世纪英国工程师们阅读了柯西的理论后，发现应力和应变的概念一旦被理解，整个结构分析就极为简化了。应力的概念，不仅可以预测材料何时会破裂，还可以描述物体内部在任何时候的状态，它就像液体或气体中的“压力”，可以用来衡量构成材料的原子和分子被拉开或是聚集。

拉梅对弹性理论的完善

与纳维认为各向同性材料只有一个参数C 不同，柯西认为各向同性材料需要两个参数，但是它们的力学意义还不能被理解。以下6式中两个常数的力学意义，后来由法国数学家、工程师拉梅 (Gabriel Lame, 1795-1870) 于1852年明确，被称为拉梅常数。他采用了与柯西不同的符号

这里，λ 被称为第一个拉梅常数，μ 被称为第二个常数（剪切模量）。拉梅曾就读于巴黎综合理工学院，毕业后被介绍到俄国，在圣彼得堡交通工程学院工作，期间帮助俄国设计了一些重要的悬索桥，这迫使他对弹性力学进行了理论和实验多方面的研究。拉梅首先利用纳维和柯西的方法推导平衡方程，证明了用纳维分子力的概念同样可以导出柯西用应力概念导出的平衡方程，更进一步，他还用这些方程求解了一些实际问题。对主应力的求解中指出，柯西的二次曲面为椭球表面，被称为“拉梅应力椭球”，并给出了求过此点任意平面上应力大小和方向的方法。将一般方法退化到特殊情况，如拉伸、压缩，得到了利用实验方法测定方程中所用单一常数的方法。现在，下式总结了可以利用试验测定拉梅常数的方法。

式中，E 为杨氏模量，v 为泊松比，G 为剪切模量，K 为体积模量，ρ 为密度，vp 为纵波速度，vs 为横波速度。

针对于弹性材料常数，托马斯.杨 (Thomas Young, 1773-1829) 于1807年明确了弹性模量，泊松 (Simeon-Denis Poisson, 1781-1840) 于1833年发现了材料变形中的泊松效应，并给出了泊松比。

如测得材料的杨氏模量E 和泊松比v，利用公式 (a) 和 (f) 就可以求得拉梅常数，还可以利用波动方法，测出某种材料中横波和纵波的速度vs 和vp，利用 (e) 和 (i) 求得拉梅常数。

纳维用分子理论推导弹性理论，采用了物理的方法；柯西利用微元体推导弹性理论，是数学的方法；拉梅用实验给出了拉梅常数的实验方法，将数学与物理的有效结合，体现了力学思维的价值和意义。

顺便说一下，在弹性理论的建立中，拉梅、柯西、泊松、纳维都毕业于巴黎综合理工学院，群星闪耀，这和综合理工加强版的基础教育密不可分！

主要文献：
[1]常振擑[译]铁木辛柯[著]《材料力学史》
[2]https://www.britannica.com/science/mechanics-of-solids/History
[3]Gordon J E . The inventionof stress and strain — or Baron Cauchy and the decipherment of Young's modulus.1978.

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟 太原科技大学。