抖空竹与欧拉方程

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抖空竹，江南也称扯铃，是我国民间的传统游戏杂耍活动，相传已有上千年历史。明末刘侗、于弈正合撰的描写北京民间风俗的《帝京景物略》中就有

“杨柳儿青，放空钟；杨柳儿活，抽陀螺；杨柳儿死，踢毽子。”

这里空钟就是空竹。清代记载空竹的文献尤多，梁溪坐观老人著《清代野记》中对空竹的构造有详细的说明：

“京师儿童玩具，有所谓‘空钟’者，即外省之‘地铃’。两头以竹筒为之，中贯以柱，以绳拉之作声。”

潘荣陛的《燕京岁时记》中也有类似的描述：

“空钟者、形如轮，中有短轴，儿童以双仗系棉线播弄之，俨如天外钟声。”

抖空竹的人将线绳绕在短轴上，用力来回抽拉，利用线绳对短轴的摩擦力带动空竹旋转（图1）。带孔空心圆盘在快速转动中产生的气流发出悦耳的嗡嗡声。抽拉线绳的运动是往复运动，一来一往，线绳相对短轴的滑动方向与短轴时而一致，时而相反。方向一致时线绳的摩擦力使空竹加速，相反时则减速。善于抖空竹的行家会在方向一致时用力上提绷紧线绳，同时加快抽拉速度。方向相反时，则放松线绳且速度减缓。从而使加速时的摩擦力大于减速，空竹则越转越快。当加速与减速的效果相互平衡时，空竹就维持转速恒定。

图1 抖空竹

空竹有单轮和双轮之分（图2）。单轮空竹只有一头装有圆盘，双轮空竹则两头均有圆盘对称安装。两种空竹抖起来以后可出现不同的现象，双轮空竹在抖动时转动轴的方向保持不变，抖空竹的人可站在原地不动；单轮空竹在抖动时转动轴却不停改变方向，抖空竹的人不得不随着空竹在原地打转，以维持空竹与线绳的联系。两种不同的运动现象恰好显示出两种不同的陀螺特性，即所谓陀螺的定轴性和进动性。

由于线绳对短轴的摩擦力不足以使空竹的质心产生太大的加速度，因此可以足够准确地认为线绳对空竹的支持点O 在空间中的位置固定不动。于是对空竹运动过程的描述可以应用刚体对定点的动量矩定理：

图2  单轮和双轮空竹

其中，L 为刚体对O 点的动量矩，M 为作用力对O 点的力矩。轴对称刚体绕极轴转动时，其动量矩L 与极轴方向一致。对称的双轮空竹由于质心Oc 与支持点O 重合，重力对O 点的力矩M 等于零。动量矩L 为常矢量，极轴保持空间中的方向不变，显示出陀螺的定轴性。不对称的单轮空竹由于重心Oc 偏在圆盘一边，重力对O 点的力矩M 促使动量矩在空间中转动。上式中的矢量导数dL/dt 等于矢量L 的端点速度，应与矢量M 的方向一致。其结果是使矢量L 在空间中发生转动。旋转刚体的极轴随同动量矩L 在力矩M 作用下的转动称为进动 (precession)。单轮空竹改变转动方向的现象，即体现了陀螺的进动性。

1760年，欧拉 (Euler,L)（图3）以刚体的固定点O 为原点，建立与刚体固结的直角坐标系 (O-xyz)。将刚体对O 点的动量矩L 表示为刚体对O 点的惯性张量J 与角速度矢量ω 的标量积L=J·ω，仅考虑重力场的作用力矩M，代入动量矩定理公式，投影到 (O-xyz)，就得到以角速度ω 的三个投影为未知变量的微分方程，经典力学中称为欧拉方程[1。欧拉方程是一组非线性的微分方程，一般情况下不存在精确的解析积分。只有三种特殊情况有解，其中之一是质心与定点重合，重力对定点无力矩作用的情形，称为欧拉情形。1788年拉格朗日 (Lagrange,J.L)（图4）导出了另一种可积情形，即轴对称刚体的质心和定点均在对称轴上的情形，称为拉格朗日情形，而上述双轮空竹和单轮空竹恰好就是欧拉情形和拉格朗日情形刚体定点运动的具体体现。

图3 欧拉 (L. Euler, 1707-1783)

图4  拉格朗日(J.L.Lagrange, 1736-1813)

在双轮空竹的旋转过程中，还可以观察到极轴的轻微抖动。空竹转得越快，抖动的频率越高。这种伴随高速旋转刚体的高频抖动称为刚体的章动 (nutation)，是由刚体的惯性作用维持的运动。陀螺的定轴性由极轴的平均位置所体现。

当空竹被抛向空中时，由于失去固定的支持点，刚体对定点的动量矩定理已不能应用，必须改用对质心的动量矩定理描述其运动。动量矩定理公式中L 和M 的定义必须改为对刚体质心的动量矩和力矩。无论双轮或单轮空竹，腾空时重力对质心的力矩均等于零。因此，腾空状态下两种空竹均保持极轴的方向不变。于是，抖空竹的人才有可能将下落的空竹稳稳地接住。

旋转中的单轮空竹还能放倒在地上，使短柄的尖端着地继续稳定旋转，于是空竹转变为陀螺。将陀螺的触地点视为固定点，则成为矩心移到触地点的拉格朗日情形刚体定点运动。

参考文献：
[1] 刘延柱. 高等动力学(第二版). 北京：高等教育出版社，2016
（原文注：原文载于《刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版). 北京：高等教育出版社，2018》第1.3节）

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。