讲授力学原理统一性——以弹簧振子为例

Stubborn

引言
经典动力学(Dynamics)的主要研究对象为质点和刚体，研究的关注点为其加速度和外力之间的定量关系。首先为了描述质点和刚体的运动，我们引入了位移、速度、加速度、角位移、角速度、角加速度等运动量。而这些运动量与惯性量的组合则可以产生广义力，包括力、力矩等。通过牛顿第二定律或者由其派生出来的刚体绕定轴转动的微分方程、刚体作平面运动的微分方程等可以建立广义力与广义加速度之间的关系[1]。经过几百年的发展，牛顿定律日益完善，其在工程领域得到了广泛应用，例如航天器运动、汽车设计、流体运动、弹性体振动、冲击和碰撞力学等。

另外一种看待质点和刚体运动的视野即为能量法。如果对于一个保守系统，则应该满足机械能守恒定律，实际该定律可以等价于其运动方程。而为了进一步研究有众多自由度的复杂系统，欧拉(1707—1783)和拉格朗日(1736—1813)又引入了拉格朗日方程，其特点在于将广义位移和广义速度看作没有关联的两组变量，从而可以推导出系统的运动方程组[2-5]。从建立在能量基础上的变分法出发，运用最小作用量原理，可以经对哈密顿作用量变分后推导出拉格朗日方程。在此基础上哈密顿(1805—1865)则引入了广义动量和广义坐标进行对应，从而获得了具有对称性的哈密顿正则方程[6-9]。实际上哈密顿正则方程也可以通过哈密顿变分原理直接推导得到。从牛顿第二定律，到拉格朗日方程，再到哈密顿变分原理，力学的发展空间不断拓宽，能够解决的复杂问题越来越多，例如哈密顿原理可以应用于量子力学领域[10,11]。

由此可见，经典动力学中涉及诸多运动定律，让初学者不免眼花缭乱，无所适从。本文力图从如何教与学的角度来对上述原理之间的脉络关系进行梳理。实际上，为了应付高考，中学物理教学中的大量训练往往过度刷题，这导致了学生对物理知识理解的支离破碎。指望大学教学来纠正这一点也颇具挑战性，因为大学也有应试，更糟糕的是大学课时经多轮压缩后更加剧了课时短缺带来的教学挑战性。不仅是很多大学生，即便是有少部分年青老师，由于投入精力不够，而对物理学内在的逻辑统一性欠缺深度的理解。经典力学是物理教学的重要内容，定理原理繁多，但是它们都是描述同一物理现象，所以本质必然是一致的，但如何使用简单的教学案例，在尽可能短的时间成本下将这些定理原理的一致性展示出来，也是教学中的一个重要命题。
本文则试图使用弹簧振子的简单案例把牛顿第二定律、机械能守恒定律、拉格朗日方程、哈密顿正则方程、哈密顿变分原理五个经典力学原理串起来，理解它们的一致性和各自运用优势。通过澄清上述原理之间的内在联系，可以让学生一通百通，统观全局，从而能够熟练掌握其工程应用。

1 牛顿第二定律

由图1所示，一弹簧振子在水平地面上作无阻尼的自由振动，其中弹簧刚度系数为k，质量块的质量为m，图示坐标原点O为质量块的平衡位置。根据胡克定律，弹簧的拉力，即合外力大小与质量块离开平衡位置的位移x成正比，但始终与其运动方向相反，如图2所示。故而由牛顿第二定律可得其运动方程(下述我们直接将运动方程用牛顿第二定律来表达)：

亦即

其中 为系统的固有频率。公式(2)即为弹簧振子的经典运动方程，为一线性常系数齐次常微分方程，可以直接得到其解析解

其中A 和B 为待定系数,可根据初始条件来确定。

2 机械能守恒定律
弹簧振子的运动方程，即牛顿第二定律，也可通过机械能守恒定律求得。很显然，系统的动能为

弹簧势能为

则系统的机械能为

机械能守恒定律为

对时间求导则得

经过化简后可得到运动方程(2)。
实际对方程(1)两边同时乘以 则可以得到方程(8)，然后两边积分即可得到方程(6)。由此可见，牛顿第二定律的初积分即为机械能守恒定律；反之，对守恒的机械能进行求导可以得到运动方程。故此机械能中的动能部分对应于牛顿第二定律中的加速度项，势能部分对应着牛顿第二定律中的弹性力项。

3 拉格朗日方程
弹簧振子的运动微分方程还可以用拉格朗日定理推导出来。其中拉格朗日函数定义为

则有

将方程(10)和方程(11)代入拉格朗日方程

整理可得方程(2)。

4 哈密顿正则方程
参照拉格朗日函数的导数方程(10)和方程(11)可以类似定义广义动量

则有

对拉格朗日函数进行勒让德变换，可以得到哈密顿函数的表达式为

求导可得哈密顿正则方程

联立方程(16)和(17)，消去广义动量p，可得方程(2)。

另外，由方程(6)和方程(15)可见

即对于弹簧振子而言，系统的哈密顿函数即其机械能，因而满足机械能守恒定律

5 哈密顿原理
上述拉格朗日方程和哈密顿正则方程实际上可以由哈密顿原理推导出来。哈密顿原理又称为最小作用量原理，是数学家哈密顿1834年发表的一个适用于完整系统的变分原理，即哈密顿作用量的变分为零

其中对于上述弹簧振子，哈密顿作用量定义为

对方程(21)进行变分，可以得到

由此可见，对哈密顿作用量进行变分后，在进行分部积分后可以推得拉格朗日方程(12)。

类似，以哈密顿函数表示的哈密顿作用量为

对上式进行变分可得

由此可见，对哈密顿作用量进行变分后，经过分部积分处理后，亦可以得到哈密顿正则方程(16)和方程(17)。

若已知拉格朗日函数的显示表达，则将其直接代入哈密顿作用量可得

则直接变分可得

由此可直接推得牛顿第二定律。

6 讨论
综上所述，这五种力学原理之间具有非常强的内在逻辑联系，但其各种关系纵横交错，令初学者感到思路混乱，对提高老师的教学效率和减少学生的学习负担提出了很大挑战。故此我们将其相互关系列入图3之中，使老师和学生能够更加清晰地梳理其脉络。

由图3可见，弹簧振子的振动可以由牛顿第二定律直接建立力与加速度的关系，从而得到其运动微分方程。在此基础上，对该运动方程进行初积分，即可得到机械能守恒定律。而机械能对时间进行求导，则可得到牛顿第二定律。然后定义拉格朗日函数，则可以运用拉格朗日定理推导出牛顿第二定律。类似地，通过勒让德变换引入哈密顿函数，也可以根据哈密顿正则方程推导出牛顿第二定律。实则机械能守恒定律，即哈密顿函数对于时间求导为零，正是哈密顿正则方程组的其中一个方程。而哈密顿原理则为比前面四个定理更加具有普遍性，经过对哈密顿作用量进行变分，可以直接推出拉格朗日函数和哈密顿正则方程，也可以直接推导出牛顿第二定律。

7 结语
本文以弹簧振子为例，详细阐述了牛顿第二定律、机械能守恒定理、拉格朗日方程、哈密顿正则方程、哈密顿变分原理这五种力学原理之间的相互关系。其中牛顿第二定律是从受力角度进行分析，而机械能守恒定理、拉格朗日方程、哈密顿正则方程则是从能量角度出发。哈密顿变分原理则为更为普遍的力学原理，通过对其变分可以推导出拉格朗日方程、哈密顿正则方程以及运动微分方程。

尽管弹簧振子比较简单，但对上述五种力学原理的统一性可以管中窥豹、略见一斑。实则，对于更为复杂的系统，运用上述定理也可以进行处理，但是对于不同的问题其方便程度不同。例如对于约束较多的复杂系统，运用牛顿第二定律就比较麻烦，但是如果用拉格朗日方程则可以大大减少工作量。再比如，对于弹性结构(梁、杆、板、壳、体等)的变形和运动，运用哈密顿变分原理可以直接推导出其拉格朗日方程，简化后即为其控制方程，可以进行工程结构优化分析。总之，对于上述定理运用方面的探索是一个永恒的目标，目前正在拓展到更多领域。