理解结构力学：几何构造分析基本原理

weixin

01、几何“变不变”

相信在很小的时候，家里人或是老师都会告诉我们为什么塔吊之类的设施都会焊接成三角形的形式，因为三角形最稳定嘛。

其实，这其中就包含了结构分析原理中的一个重要概念：几何可变体系与几何不变体系。毫无疑问的是，我们不能把结构架设成几何可变体系，否则外力一旦施加上去，它就会迅速变形失去其功能，甚至瞬间倒塌，比如下面图中所展示的（虚线为变形后状态）。

那么，我们要如何将上面的结构变得“稳固”呢？三角形是我们最容易想到的方法了。

其实，结构的几何构造分析的主要目的就在于此，检查并设法保证结构的几何不变性。但是，上面的例子结构本身太过简单，并且分析方法太过于直觉化，对于更复杂，不这么直观的结构而言，比如下图这样：

这样的所谓“一眼看”的分析方法就会变得不那么严谨，于是，一个更具有一般性的分析方法就变得尤为重要。

在正式提出分析方法之前，有必要先介绍两个重要概念：一是自由度；二是约束。

学习一门新学科时，大多数人的内心都对这种新名词，新概念充满了排斥感，其实这些新的概念也只是第一次接触的时候会花些心思，等到正式运用时，只会更方便。就像你第一次接触方程时，老师给你传递一大堆概念和定义，但是现在我们只用提到方程这一概念，你就知道如何运用处理问题是一个道理。

02、自由度  

在平面内（之后讨论的都是平面，而非三维空间），假设有一个自由点可以在平面内自由移动，我们可以用几个数值对其位置状态进行描述呢？这是一个不太复杂的问题，二维平面之所以叫二维，就是因为在二维平面内可以用两个量对面内任意点的位置进行描述，对此，我们称这个自由点在平面内的自由度为2。尽管我还没有给出自由度的直接定义，但相信读者已经大概从这里有了自由度的初步“印象”了，就是自由的程度嘛。

可是我们都知道，结构并不是一个点，比如我们在上图中将点换成一个矩形，我们称这个矩形叫刚片（刚度大，不会变形的平面刚体），读者并不需要对矩形这个描述过于留下刻板印象，因为刚片是一个统称，有的时候一条轴线也可以被称为刚片，一个刚架也可以被称为刚片，读者只用留下刚片是具有体积、不会变形这一特征的印象即可。

那么，刚片在平面内具有几个自由度呢？如果你的回答是2的话，恭喜你回答对一半了，因为刚片在平面内也具有自由点的性质，可以在平面内自由移动。不过刚片不止是一个点，是具有空间形状的，那么相对于点而言就多了一个运动状态——转动（比如时钟里时针、分针绕中点旋转），所以对平面中的刚片进行空间描述就需要用到三个度量值，它的自由度是3。

一般来说，一个体系如果有n 个独立的运动方式，那么这个体系就有n 个自由度。比如，一般在工厂里的一些机械设施，我们是希望它们能“动”的，但是又希望它们只按照某一规定好的形式运动（比如说传送带），那么这种机构就有一个自由度。

而对于结构而言，我们是不能允许结构发生运动的，所以几乎所有结构的自由度都为0，如果一个结构的自由度大于0了，那这个体系就是几何可变体系。

03、约束   

万事万物有了自由，自然就有了约束，也很容易提前猜到，既然把约束放在自由度后面讲，那么约束一定会减少自由度的大小。

支杆约束：

比如一根杆AB（用两个端点编号命名），在平面内是具有三个自由度的（可被看作是一个刚片），那么如果这样的杆件被支座可动铰支座（又名链杆或支杆）与基础连接住，此时的自由度又会有什么样的变化呢？

由图可知，此时AB杆的运动方式只有两种了：一是整个杆通过A点绕C点转动，二是整个杆件绕A点转动。因此，此时AB杆的自由度为2，在此就可以得到一个结论：一个支杆（上图中的AC部分），相当于一个约束，可以减少一个自由度（对于上面的原因了解即可，更重要的是这个结论）。

铰：

假如空间中有两个独立的杆件AB、BC，那么这个体系就具有6个自由度（两个杆件各有3个自由度）。那如果我们用一个铰把两个杆件连在一起，自由度又会有什么样的变化呢？

对于这个“双节棍”，它并不是说不能移动了，它依然可以移动，不过是两个在一起整体移动，所以对于整个体系而言可以看作是：包含了AB作为刚片的三个自由度加上BC只能绕B旋转的一个自由度（因为BC移动部分的自由度可以用AB的移动进行描述），共4个自由度。

其实并不难理解，你可以这样类比，公交车在地面上有三个自由度（可移动，可转弯），你也有三个自由度（可移动，原地转圈），可是你上了公交车后，你的空间移动的量值其实就是公交车的移动了。

同样可以得到一个结论：一个铰相当于两个约束，可以减少两个自由度。

刚结：

那如果两个杆件是被刚结在一起，像下面“回旋镖”一样的造型呢？

很容易，新的体系其实可以看成是一个更大的刚片，只有三个自由度。

同样可以得到一个结论：一个刚结点相当于三个约束，可以减少三个自由度。

我们汇总一下上面提到的三个结论：

  · 一个支杆相当于一个约束，可以减少一个自由度；

  · 一个铰相当于两个约束，可以减少两个自由度；

  · 一个刚结点相当于三个约束，可以减少三个自由度。

有了自由度和约束的概念，我们就可以站在更科学的角度看待几何可变以及几何不变体系，对于更复杂的结构也有了更方便的工具可以运用了。


任何科学上的雏形，都有它双重的形象：胚胎时的丑恶，萌芽时的美丽。

——雨果

来源：头条号新叔的科学日常