“嫦娥”探月与限制性三体问题（2）

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在探月工程中，拉格朗日点是飞船同时绕地球和月球转动的特殊位置。月球的自转周期为27.3昼夜，恰好等于绕地球公转一周的一个恒星月。这种同步转动现象是潮汐长期作用的结果。因此月球在 (O-xyz) 动坐标系中不仅质心位置不变，而且姿态也固定不变。即永远以正面朝向地球和L1 点，以背面朝向L2 点。嫦娥四号已成功实现人类首次在月球的背面着陆。与L1 点最适合对月球正面的观测和着陆类似，L2 点就是背面着陆的最佳母船停泊点。

在地球－太阳引力场的拉格朗日点中，面对太阳的L1 点是观测太阳的最佳位置，背对太阳的L2 点是安放天文望远镜的最佳位置。L2 也是远离地球实现深空探测的起点。2011年8月25日，“嫦娥二号”  已从月球轨道出发，经过77天的飞行曾准确进入距地球150万公里的地日系统的L2 点，开始了探测宇宙深处的试验飞行。

三、希尔曲线族

拉格朗日点也必须判断其平衡状态的稳定性。基于线性化扰动方程，考虑科氏惯性力因素，可以证明地月系统的拉格朗日点L1、L2、L3 均为不稳定平衡，L4 和L5 为稳定平衡[1。

拉格朗日点的稳定性还可通过对物体在地月系统中的全局运动规律来判断。由地月引力和离心惯性力组成的保守系统存在雅可比积分[1

其中，E 为单位质量物体的机械能，V(x,y) 为物体在地月引力场和离心惯性力场中的势能函数

初积分的物理意义为系统的总机械能守恒。因势能V 为负值，当物体的初速度较低时，总机械能E 亦为负值。将E 写作-|E|，从上两式解出

初始能量|E| 确定以后，为保证v2为正值，物体只能限制在确定范围内运动。此运动范围的边界与零速度相对应。令上式中v= 0，得到以|E| 为参数的零速度曲线族，也称为希尔曲线 (Hill, GW)（图6）。在拉格朗日点处，如物体的初速度为零必留在原地保持平衡。因此，拉格朗日点Li (i=1,2,˖˖˖,5) 就是希尔曲线族中缩成奇点的特殊零速度线。

图6 希尔曲线族

物体的初速度不为零但较低时，希尔曲线为围绕O1 或O2 的封闭曲线。物体的运动被限制在地球或月球附近的空间内互不连通。增大初速度，则动能增大，|E| 减小，零速度曲线包围的空间逐渐扩大。当围绕O1 或O2 的局部区域扩大到在拉格朗日点L1 处互相接触时即形成通道，地月之间的联系方可能实现。所对应的初速度为通往月球的初速度最小值。初速度继续增大可使通道不断加宽，还可使飞船的可达空间在L3 处乃至L4 处相接，构成不同拉格朗日点之间的通道。当初速度增大到使E ≥0 时，物体的运动空间即不受限制。

根据拉格朗日点附近希尔曲线族的几何特征，可以直观地判断拉格朗日点的稳定性。从图6看出，L4、L5 附近的零速度线为围绕拉格朗日点的封闭曲线族，物体在此位置的受扰运动保持在平衡位置附近。表明L4、L5为稳定平衡。而L1、L2, L3 附近的零速度线具有鞍点特征，为不稳定平衡。不过即使是不稳定平衡，借助飞船上维持定位的自动控制系统，也能使飞船的平衡位置转为稳定，不影响探月工程的使用。

参考文献

[1] 刘延柱. 高等动力学. 北京：高等教育出版社， 2001

（原文注：改写自 刘延柱. 月球轨道稳定性与科氏惯性力，力学与实践，2015, 37(4): 523-524；刘延柱. 关于地月系统的拉格朗日点，力学与实践，2015, 37(6): 765-768）

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。