谈谈卷积及其在振动、中心极限定理和更新理论中的应用

weixin

卷积应该是一个很容易理解的概念。如果从纯粹数学上讲，可能不容易，但把物理联系起来，就容易了。

在振动学中有一个著名的杜哈美积分 (Duhamel's Integral)，讲的是对于受迫振动，我们可以将强迫力时程分解为一系列的脉冲的叠加，如果已知系统在单个脉冲下的响应，并注意到s 时刻的脉冲只对时间t >s 的响应有影响，那么整个系统在t 时刻的响应就等于所有t 时刻以前的脉冲各自单独作用下的叠加。因为采用了叠加原理，系统必须是线性的。

用h(u) 表示系统在单位脉冲作用下u 时刻的响应。那么s 时刻的脉冲在系统t (t >s) 时刻产生的影响就等于h(t-s)，将所有s(=0~t) 加起来，就得到整个系统在t 时刻的响应。对于离散时间，就是相加；对于连续时间，变成积分。

这是一个工科学生对卷积的简单理解。

卷积应用于很多学科，下面简单讲两个在概率论中的应用：一个是随机变量的和，另一个是更新过程中的更新定理。

1、随机变量的和
两个随机变量的和的概率分布，可以表达成一个卷积积分。n 个随机变量的和的概率分布，就是n 重卷积。

2、更新过程中的更新定理
更新过程中一个比较棘手却非常重要的量，是在给定时间内事件发生数的平均值 E[N(t )]，它也可以表示成它自身与更新间隔时间的概率密度函数的卷积，推导方法和前面强迫振动是一样的。不过，这个时候人们通常叫它 II 型Volterra 积分方程。为什么要用一个新名词呢？如果借用前面振动学的概念，是因为这个时候脉冲响应函数和响应函数是同一个函数。

前面几位大侠似乎没有讲到一个问题，即如何处理卷积。实际上，我们很少直接求解卷积。很多时候，我们发现，用Fourier 或Laplace 变换是一个更为简单的办法。这主要是因为，采用变换后，卷积变成了代数乘积。在振动学中，脉冲响应函数的变换改称为频响函数，而在概率论中，概率密度函数的Fourier 变换称为特征函数，Laplace 变换称为矩生成函数。对于离散时间（时间序列）或离散随机变量，我们多采用它们的生成函数 (generating function)，在信号处理中，又叫z 变换。

正是因为采用了 Fourier 变换，中心极限定理的证明成为一件不是那么难的事情。

严格数学的解释（存在性），请读曹大侠之大话卷积。

大话卷积

作者：曹广福

关于卷积的背景问题其实并不那么简单，有人觉得卷积与傅里叶分析密切相关，可你是否知道他们之间到底是什么关系？卷积的本质到底是什么？在这里从数学的角度展示卷积的强大威力。

要了解卷积的本质，首先要清楚傅里叶分析到底在说什么？它的核心问题是什么？傅里叶级数大家耳熟能详，不需要我啰嗦了，然而你对傅里叶级数了解到何种程度？如果你仅仅局限于微积分里那点可怜的概念，恐怕你连傅里叶级数的毛也没摸着，你只是知道了傅里叶级数的简单定义而已。

要想真正了解傅里叶级数，就必须熟悉实变函数，因为在傅里叶分析中，一个最基本也是最重要的问题是：傅里叶级数是否收敛？按什么方式收敛？

这个问题在微积分里是无法搞清楚的，事实上，即使是一个连续函数，其傅里叶级数也可能在某些点发散，我们甚至可以构造出Riemann 可积函数，其傅里叶级数是处处发散的。如果你辛辛苦苦把一个函数展开成傅里叶级数，却发现它并不收敛，其内心是一种什么感受？大概如同从没有电梯的二十层楼上屁颠屁颠地跑下来却发现没带汽车钥匙。众所周知，Riemann 可积函数是一种性质比较好的函数（相对于积分区间几乎处处连续，啥叫几乎处处？微积分是不能告诉你的，想知道吗？老老实实跟我学实变函数），即使是这样的函数都不能保证傅里叶级数的收敛性，可见问题有多么严重。傅里叶分析是门比较古老的学问，但其中存在的许多问题直到上个世纪中叶依然是大家关注的话题，也正是傅里叶分析中存在的诸多问题悬而未决，促使人们寻求新的方法，这正是泛函分析的萌芽之一。

卖了半天的关子，到底想说啥？稍安勿躁，一点耐心都没有我还怎么讲？我们就从收敛性问题说起，假设f 是以2π 为周期的可积函数（以什么为周期不是最重要的），其傅里叶展开为：

也可以写成指数形式：

其中，

俺无法写出积分上下限，反正你们都知道是个长度为2π 的积分区间，现在的问题是如何判断右端的级数是收敛的。

知道这叫什么吧？它称为级数的部分和，我们的目标是把这个部分和表示出来，以便于判断该部分和是否收敛。试图把这个级数的和求出来是徒劳的，你能做到的话，天下就是你的了，不过，我们可以把系数的积分式带进级数，将得到：

还记得三角公式吧？知道方括号里的和怎么求吗？如果不会，你还有机会，用指数形式的级数再试一次：

最后，这个和式会算吗？如果还不会，你就剩下一个机会了，用你那聪明的脑袋对着南墙狠狠撞他十二下，就能唤起你中学时代的美好记忆了。

则

明白为什么要定义卷积了吗？

现在的问题就变成了判断上述积分是否收敛到f(x )，事情似乎变得简单了，令人无奈的是，上述积分未必收敛到f(x )！那么，什么样的函数具有收敛的傅里叶级数呢？按何种方式收敛？这个问题暂且放在一边，我们知道很多情况下不收敛就够了，因为要说清楚这个问题的话，需要超出经典微积分的范畴。如此说来，对于傅里叶级数不收敛的函数岂非无能为力？人类就是伟大，有的是办法，S_k(x )不收敛，可以考虑部分和的平均，结果令人喜出望外，部分和的算术平均居然几乎处处收敛！这个算术平均是什么呢？再来算一次。

将D_k(x ) 带入可以算出

于是

我们再次得到了一种卷积，Fejer 定理告诉我们，上述积分几乎处处收敛到f(x )。

人们将D_k 称为Dirichlet 核，将F_m 称为Fejer 核，上述卷积又称为带核的积分。事情到此结束了？非也，这才仅仅是开始，一门影响深远的理论—积分算子理论从此拉开了帷幕。

来源：整理自袁贤讯、曹广福科学网博客