巧妙的力学求解方法 - 虚位移与虚功

Baron

在力学的发展过程中，计算是个头大的问题，在计算机不是很发达的时代，数值解法还是很费功夫的。即便有些看似简单的，但是由于牵涉到的相互关联部件太多计算步骤多起来也是吓人。于是乎就有人在寻找是否有更简便、更直观、更省力的方法，因此也就出现了很多有意思的解法和思路，像莫尔应力圆、虚功原理等等。

或许大家听过这么一个故事：讲的是一个生产肥皂的生产线，经常会有一些空盒，厂长想找到一个解决办法识别这些空盒并从流水线上移除，为此聘请了一位博士，该博士通过设计各种传感器和自动化机械装置做出了一个方案，但是成本太高。后来一位操作工听到后，提出了一个令人意想不到的方案：直接用一个大马力的风扇对着生产线吹就行！

这思路就是清奇！而我们前面提到的那些力学计算方法，一样给人一种柳暗花明的感觉，让你觉得拍案惊奇！今天我们来看看虚功原理。道理与公式不多讲，主要是通过实例让大家感受一下它的魅力，或许你可能用不到它，但是这种思路值得每个人学习。
先给大家来个维基上的对虚位移和虚功的定义。

虚位移：

在分析力学里，保持时间不变，虚位移是符合约束条件的无穷小位移。由于任何物理运动都需要经过时间的演进才会有实际的位移，所以称保持时间不变的位移为虚位移。虚位移不是实际的位移，而是一种虚构的、理论上的位移，是一种只涉及位置，不涉及时间的变化。

虚功：

在分析力学里，施加于某物体的作用力，由于给定的虚位移，所做的机械功，称为虚功。

虚功原理：

一个物理系统处于静态平衡状态下，所有施加的外力经过符合约束条件的虚位移所做的虚功的总和等于零。

现在我们拿上面这个机构做个例子，在D点有个外力P，请问在E点需要多大的转矩？如果按照我们常规的解法，我们可能需要将每个部件进行拆开，根据力平衡条件进行作用力与反作用力分析，部件少的时候或者结构简单时工作量还能接受，但是如果非常复杂，计算起来就没那么容易了。如果我们给这个机构加一个虚位移呢？我们一起来看一下。

如上图所示，我们假设在E点，连杆在力矩M的作用下转动了一个非常小的角度δθ，受此影响，D点也发生了一个小位移δxD。根据虚功原理，所有施加的外力经过符合约束条件的虚位移所做的虚功的总和等于零。这里大家要注意的是，判断哪些力会做功，哪些不会。比如上图中的，A力由于虚位移的方向和力的方向垂直，所以不会做功；Ex和Ey两个力由于E点是固定的没有虚位移，所以也没有做功。图中只有力P和转矩M做功。因此我们有：

根据几何约束条件，有

因此，我们得到：

这样我们就求出了所需要的M值。通过上面的计算，我们看到，部件间的相互作用力都无需再考虑，我们只关心施加在整个结构上的外部载荷（不做功的那些也不需要考虑）即可。

这里我们通过一个小的虚位移假设，来求得了我们所需要的结果。值得注意的是这种假设依然要遵循约束条件。这种思路是不是能给你的工作和生活一些启发？欢迎你的评论！