单自由度系统- 周期激励强迫振动

用完美的表情

1. 简谐激励强迫振动响应
简谐激励即正弦或余弦激励。

（1）振动方程

或

其中： 为激振频率.

（2）稳态响应

或

振幅和相位

其中

（3）无阻尼响应
由于阻尼的存在，初始条件和外激励引起的自由振动响应很快消失（瞬态振动），因此对于有阻尼振动系统只需要研究稳态响应。而对于无阻尼系统则需要同时考虑初始条件和外激励的响应。

无阻尼振动系统正弦激励下的总响应

余弦激励下的总响应

（4）稳态响应复数解

复频率响应函数

（5）稳态响应的性质

  · 系统在简谐激励下的响应也是简谐的，响应频率与激振频率相同；

  · 振幅 和相位角 决定于系统本身的物理性质和激振力的大小与频率，与初始条件无关；

  · 振幅X的大小，在工程实际中具有重要的意义。如果振幅超过允许的限度，构件就会产生过大的交变应力而导致疲劳破坏，或影响机械加工或仪表测量的精度。

（6）幅频特性曲线
定义动力放大系数或振幅放大因子：响应的振幅与最大干扰力 所引起的静位移的比值

以 为参数，画出 曲线即幅频特性曲线，表明了阻尼和激振频率对响应幅值的影响。

由幅频特性曲线可以看出

   · （近似静载）， 。即响应幅值近似等于激振力幅值所引起的静位移 ；

   · 时

振幅的大小主要决定于系统的惯性，激振频率越高振幅越小，系统运行越平稳。

   · （激振频率接近固有频率）时， 迅速增大，振幅很大，这种现象称为共振。所以在工程中通常认为当 时发生共振；

  · 阻尼比γ的影响: 阻尼越小，共振越厉害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。

2. 任意周期激励的强迫振动
（1）傅里叶级数
假设 是周期为 的函数

若在一个周期内分段光滑，则可以展开为傅里叶级数

其中各个系数计算分为两种情况：

  · 当定义在 上时

若具有奇偶性，则

若为奇函数则 ，为偶函数则 。

  · 当定义在 上时

（2）任意周期激励的响应
  · 振动方程

即前面的傅里叶级数展开式。

  · 响应

其中