简谐振动的运动学方程是怎么来的？(2)

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方式四 用复变函数的思路

这个思路要感谢知乎大佬@烤羚羊，他也是从二阶常微分方程入手，在他给出的求解过程中一开始和费曼是一样的，都是先猜想解的形式。只不过，费曼猜想的是余弦函数，而@烤羚羊猜想的是e指数，即 ，它和余弦函数一样，也可以在经历两次求导后得到于原函数类似的形式。经过一通推导后，得到了简谐振动方程的复数形式如下：

方式五 能量守恒大法好

上面的做法总结起来无外乎两种，一种是从振子的实验数据出发，去猜余弦函数（高中教材的做法），一种是从振子的动力学方程出发，去猜常微分方程的解的可能形式（费曼的做法和知乎@烤羚羊的做法）。都是靠猜。

那有没有什么办法可以不用靠猜，直接通过严谨的数学推导就能得出振动方程呢？有的，就是利用机械能守恒定律。这和上面的思路完全不同，《新概念物理学教程·力学》中用的就是这种办法。我们一起看看吧

弹簧振子具有的能量
为了讨论振子的运动学方程，我们先看看振子运动过程中的不变量——总能量。

对于宏观的弹簧振子而言，总能量无外乎两种，一种是振子的动能,我们在中学就已经知道它的计算式为 ，显然它和振子的速度有关系，而速度是位置的一阶导数。另一种是系统的弹性势能 ，那么弹性势能的具体表达式又是什么呢？我么一起把它搞出来。

弹性势能的泰勒级数
我以前被泰勒级数这四个字吓住过，不知道是个什么玩意儿，随着认识的加深，我逐渐明白了它的意义——用来近似的。部分读者可能还蒙在鼓里。接下来请允许我对它多唠叨几句。

首先，我们给出弹性势能的泰勒级数展示式。为了讨论的方便，我们把平衡位置记为0点，那么偏离平衡位置的位移和振子的位置在数值上相等，这样，振子的泰勒级数可以表达为如下形式：

大家不要被这么一长串公式给吓着，怎么理解它的意义呢？我们通过分析一副石膏像的素描过程来理解它。

摩西石膏像的素描图

在上图的素描画中，第一步先画出人物的轮廓，虽然它和真实的照片差距很远，但仍然可以知道这画了一个人，我把它称为对真实照片的模拟加入了一阶近似；

接着第二步，对人像的五官进行深入勾勒，这时我们发现摩西的感觉已经出来了，但还是和真实照片有差距，我把它称为对真实照片的模拟加入了二阶近似；

然后到了第三步，画家开始对照片中的光影明暗进行深入分析和表现，使得素描画更加立体丰满，此时的画作和真实照片的差距已经很小了。我把这称为对真实照片的模拟加入了三阶近似；

现在你应该明白了，只要我们不断地近似下去，让近似项越来越多，我们对原始对象地表现将会越来越逼真。

回到泰勒级数上去，它干的活儿和上面的素描过程其实是一样的。 就相当于那一张白纸， 就是对弹性势能加了一阶近似， 就是对弹性势能加了二阶近似，依此类推。

这么做有什么好处呢？它可以帮助我们得到弹性势能的表达式。接下来我们分析一下这些近似项蕴含的意义。

1.首先看 ，它表示振子在平衡位置时的弹性势能。根据对称性的方便，我们令平衡位置时的弹性势能为0，即

2.再看一级近似 。这里有个一阶导数 ，它表示什么意思呢？嘿嘿，在中学我们就学过，弹簧弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，把这句话写成微分形式就是 。然后把它变个形，就得到了弹性势能一阶导数的表达式：

再根据胡克定律，弹簧弹力大小F=kx，所以最终我们得到了弹性势能一阶导数为

而当x=0时，振子处于平衡位置时的弹力为零，把x=0带入上式就得到弹性势能的一阶导数为0。

3.再看弹性势能的二阶导数。有了一阶导数的表达式，二阶导数自然就可以轻松得到，即

4.最后看高阶项。由于二阶导数已经为一个常数k（即弹簧的劲度系数）了，那么三阶以上的各项就只好都等于0了。

终于，弹性势能的表达式就被我们搞出来了,即

换元积分求解
有了动能和势能的表达式，我们就可以得到总的机械能表达式

为了等会儿便于积分，把它再改写成

因为振子的振动过程中总能量守恒，所以E是一个常数。为了求解x随时间变化的函数，我们写出速度的导数形式 ，那么有

接下来就是一些积分技巧，我们通过换元法，令 ,这样分母

而且有

经过这么一折腾，上面框框中的式子就被改成下面这个容易积分的形式

两边积分，得

再把 换回到x，就得到

终于大功告成，这个表达式和我们常见的表达式 在意思上是一样的。其中的 就是振幅A , 就是我们之前定义那个 。

最后的话

洋洋洒洒六千多字，不算多但也不算少，经过这么一通分析，我主要感受到以下两点：

1、要想认真学懂一个知识，少不了旁征博引，博览群书，不要囿于一家之言。因为一本书有一本书的观点，它往往会受作者的意图、篇幅、定位等方面的考虑，不一定面面俱到。

2、把学到的知识写下来，讲给大家听，会加深、巩固和检验你对知识了解，还能结交优秀的人。我以前很自卑，很少跟人交流，加上之前视野不开阔，学习不够深入，对很多知识的认识只是浮于表面。在长尾君的引导下，我逐渐学着去学习，学着写点东西，把学到的东西再讲出来。这么做不仅利己，还能利人，何乐而不为呢？