理解结构力学：捋捋几何可变体系

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结构体系按是否可变分为几何可变体系与几何不变体系，根据约束计算结构的自由度并得到了以下这些结论：

  · 一个支杆相当于一个约束，可以减少一个自由度；

  · 一个铰相当于两个约束，可以减少两个自由度；

  · 一个刚结点相当于三个约束，可以减少三个自由度。

自由度大于0的结构体系为几何可变体系，那有没有这样一种情况，就是一个体系再额外增加约束，它的自由度不变呢？确实这种约束是存在的，这样的约束我们称其为多余约束。

1、多余约束
名字取得挺写实的，对于自由度而言，有你没你自由度都一样，比如下面的例子这样：

假如空间中存在一个自由点，根据我们之前对自由度的解释可知，一个自由点的自由度为2，我们用两根链杆将自由点与基础相连（每一个支杆减少一个自由度），于是此时该自由点的自由度为0。

假如在此时的状态下，再给A点额外增加一根支杆，那么对被三根链杆连接的自由点而言，自由度依然只减少了2，所以此时其中有一根支杆就是多余约束。

不过，此处希望读者不能会错意，多余不代表没有意义，生活中有大量的结构就是含有这样的多余约束而存在的，多余只是一个相对于自由度而言的概念，并不是说对于这个结构而言是多余的。

除了多余约束以外，你有没有想过是否存在一种结构体系，本身是可动的，但是动了一点儿之后就变成不可动了，像极了游戏里的被动技能，触发了这样的条件才会有对应条件的状态出现。没错，瞬变体系就是这样。

2、瞬变体系
瞬变体系依然是可变体系的一个特殊情况，所以如果据此分类的话，可变体系可以被分为瞬变体系和常变体系两类。直接举个例子，比如下图所示：

三个铰处在同一直线上，假如只考虑一个链杆存在（比如1号或2号），每根链杆都可以绕各自的根部（B点或C点）转动，也就是沿着上图虚线的轨迹。但是由于两根链杆同时存在，所以两根杆都不能做“大幅度”转动，轻微的转动后，三个铰就会变成我们熟知的三角形态，转变为几何不变体系，这种原本可变，轻微变形后不变的体系就是瞬变体系。

同样的问题我们换一个角度重新研究一下，来计算一下1号杆的自由度，没有任何约束的杆在平面内的自由度为3（转动，移动），受到一个铰和一个链杆的约束后，自由度变为了0，不知道读者是不是也有这样片面的计算呢？其实在这里举这样的例子也是想让读者加深自由度和约束的理解。

没错，直接逮着定义套公式好像是一件再方便不过的事，但还是要有一点自己的思考，我们知道约束能减少自由度，可是上面例子中的2号杆真的约束住了吗？在图中的状态下是没有约束住的，1号杆自由度为1，轻微位移后就是约束住的（变成了三角形态），自由度为0。

再进一步理解，在三铰一条直线状态下，2号杆的加入并没有减少1号杆的自由度，所以2号杆此时是多余约束。

这样的推导看似是毫无意义的，其实不然。这种思考路径对于基础知识和定义的理解有百益而无一害，更能串联之前学习的知识点形成架构，利于夯实基础。

3、瞬铰
有了上面的基础，我们就可以来看一种更复杂的例子：

在正式开始这个例子之前，我们回顾一下链杆的运动轨迹是怎么样的？链杆是绕着与基础连接的点转动的，所以顶点的运动方向时刻是旋转轨迹线的切线方向，也就是图中的箭头所示，时刻与链杆本身垂直。

上图例子中的刚片1本身具有3个自由度，受到两个链杆的约束后，变为了一个自由度，我们现在的主要工作就是分析刚片现在的运动状态，在图中所示的运动状态的瞬间，刚片的A点沿着A点处的箭头方向运动，刚片的C点沿着C点处的箭头方向运动，这样的运动叠加起来是个什么结果呢？转动，如果读者有疑，可以拿着手机的两个部位朝着不同的方向拉动，观察手机是不是会有转动的趋势。

任何转动都是有相对中心点的，两根链杆延长线的交点o就是此时刻的旋转中心点，稍加思考容易知道，“轻微”运动后，两个链杆延长线的交点位置就会发生改变，那么这个时刻的转动状态也是暂时的，因为下一刻就会沿着新的旋转中心点旋转，不过就对这一瞬间而言，两个链杆对刚片的作用和把刚片用铰固定在上图o处的作用是一样的，所以延长线交点o又被称为瞬铰。

有一个特例要特别说明，如果两个链杆平行，在数学上，平行线在无穷远处也相交（此处不作证明）。所以即使两个链杆平行，也认为这个时刻存在瞬铰，只是说它的瞬铰在无穷远处。

至此，我们就掌握了几何构造分析关于几何可变体系的基础知识，对于后面几何不变体系的组成规律分析也打下了良好的基础。

来源：头条号 新叔的科学日常