力学的几何化——辛几何与哈密尔顿动力系统

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上一节我们引进了黎曼几何的概念（力学的几何化——黎曼几何与拉格朗日动力系统）。并且说，把黎曼几何中的度量进行推广或少许改变就会得到新的几何。不过前文引述的几种改变都还保留了二次式的对称性质。

现在我们要引进一种比较大的改变，从而产生一种崭新的几何——辛几何 (Symplectic Geometry)。

改变的第一点是令空间的维数为偶数。第二点，最重要的是改变微分dxi 乘积的定义。原来的乘积是可交换的，即dxidxj=dxjdxi，就是两个元素相乘时，次序先后结果都一样。这种乘法对于次序的置换是对称的。现在把乘法的可交换改为交换次序后取反号，即dxidxj=dxjdxi。也就是说，将原来坐标参数微分的乘法从对称改为反对称。为了区别于原来的乘法，把这种乘法取名为外积，乘法的符号也改用"∧"，于是有 。在这样的改动下，上式就可以写为

由于外积的性质，上式中必然有giidxi∧dxj。另外，即这时的度规是一个反对称张量。由于引用了外积，上式也不一定是正定的了，所以就不再有弧长的性质，不再保留二次式左端的 (ds)2。

上面这个表达式还是有一点复杂。现在我们引用一个定理（达布定理），这个定理说，上式 在一定的条件下，总能够通过坐标参量的变换，把它化为如下的标准型：

这个式子用矩阵的符号可以记为：

式中，左边用“{ }”表示列向量。0n 与En 分别表示n 阶零矩阵和单位矩阵。度量矩阵 (gij) 的形式为

需要说明的是，外积的概念在19世纪就已经产生了。到了20世纪，法国著名数学家卡丹 (élie Joseph Cartan, 1869-1951)（图3）对它进行了系统的发展，并引进外形式和外微分的概念。表达式

或

就是一个二阶外微分形式，对于微分形进行外微分，可以得到更高阶的微分形。后来的研究发现，外形式有着更为丰富的几何内涵。与之相对应的二次式是仅仅考虑流形内的度量性质，对应的几何称为内蕴几何。而外形式则更多地考虑到流形的定向、低维流形与高维流形之间的关系，所以后来在力学、物理和微分方程的可积性等方面都有重要的应用。卡丹在李群理论及其几何应用、数学物理、微分几何等方面，有很重要的贡献。

图3 卡丹（左）与魏尔（右）像

辛 (Symplectic) 这个词则是德国（后加入美籍）数学家魏尔 (Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885-1955) 于1939年引进的。他首先引进了辛群 (Symplectic Group) 的概念，即一个线性变换群如果能够保持反对称二次型（下式）的反对称性质，则这个线性变换群就称为辛群。

对辛群，魏尔在1946年出版的专著《经典群，它们的不变量与表示》第六章中有较详细的讨论。

抗日战争胜利后，蒋介石想制造原子弹，曾派出华罗庚（数）、吴大猷（理）、曾昭抡（化），各带一二位研究生于1946年赴美考察。后来他们知道，美国政府规定：凡与原子弹有关的研究机构和工厂，一律不准外国人进入。这三位和他们所带的研究生只得"各奔前程"。华罗庚就去访问普林斯顿，接触到魏尔，并把Symplectic翻译为"辛"，介绍到中国。

1834年与1835年，哈密尔顿发表了两篇著作，《论动力学中的一个普遍方法》与《再论动力学中的普遍方法》。在这两篇论文中包含了他对分析力学的主要贡献。

哈密尔顿引进了

后人将H 称为哈密尔顿函数。将pi，qi 称为哈密尔顿的广义坐标。

利用pi=əL/ə ，从中解出 为pi，qi   的函数代入上式，再将上式作变分可得

注意式中的自变量的变分是任意的，我们便可得到

这便是以哈密尔顿函数H 与哈密尔顿变量p,q  表示的运动方程。后人也将它称为哈密尔顿方程。p,q 决定的流形，也称为相空间，显然它是2n 维的。

现在把上式写成矩阵的形式，我们有

这个式子中右端的矩阵就是

就是说方程

的反对称性质和辛几何中的二次型的结构是相同的。于是讨论关于方程（上式） 的许多问题就和研究辛几何的问题一致起来了。例如，要在相空间进行一个变换使它在新的相空间的方程仍然具有上式的形式，就和辛空间的参数变换使得二次型的形式不变是同一个问题。这样的变换在力学中称为正则变换，在辛几何中称为辛群。

哈密尔顿的力学系统与拉格朗日的力学系统的不同处在于，它是把原来的二阶方程组化归为一阶方程组。对应的几何语言也有不同，考虑由广义坐标qi 构成的n 维流形，还要考虑流形上每一点有一个由pi 组成的n 维切空间，它们的直积就构成一个2n 维流形，这样的流形，称为2n 维纤维丛。如果在这个纤维丛上定义了一个2次外形式，这就是一个辛流形，并且定义了一个哈密尔顿函数H，则我们就构成了一个辛流形上的动力系统。

哈密尔顿方程不仅是从形式上将拉格朗日的二阶方程组变为一阶方程组，使它更易于求解，而且由于使它与辛几何对应，开辟了从研究辛几何去获得关于解的性质的途径。进而它告诉我们，一切具有能量守恒的力学系统，或者说二阶方程组都能够化归为哈密尔顿系统求解。近年来，有些学者将理想流体的欧拉方程组，化归为哈密尔顿系统来研究，得到了一些新的结果。另外，由于哈密尔顿系统具有守恒性质，所以在对力学系统进行离散化数值计算时，要使差分格式的每一步都能够保持反对称性质，或者说每一步都是保辛的格式，则计算精度会更好。

来源：武际可科学网博客，作者：武际可。