差之毫厘，失之千里——混沌理论

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起源 ORIGIN
混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，中国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等，这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。

混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓“差之毫厘，失之千里”正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是，此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见，如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。

解释 EXPLAIN
混沌理论三原则：

  · 能量永远会遵循阻力最小的途径。

  · 始终存在着通常不可见的根本结构，这个结构决定阻力最小的途径。

  · 这种始终存在而通常不可见的根本结构，不仅可以被发现，而且可以被改变。

混沌理论的特征：

  · 随机性：体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为，常称之为内随机性。例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，即使控制参数、初始值都是确定的，而系统在混沌区的行为仍表现为随机性。这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用。体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在。

  · 敏感性：系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的，时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性。这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面，也将导致系统长期时间行为的不可预测性。气象学家洛仑兹提出的所谓"蝴蝶效应"就是对这种敏感性的突出而形象的说明。

  · 分维性：混沌具有分维性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述。例如Koch雪花曲线的分维数是1.26；描述大气混沌的洛伦兹模型的分维数是2.06体系的混沌运动，在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构。

  · 普适性：当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义。其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。这类系统都与费根鲍姆常数相联系。这是一个重要的普适常数δ=4.669201609l0299097…。

  · 标度律：混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域。只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样，所以具有标度律性质。例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性。

意义 SIGNIFICANCE
混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。

近半个世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家Edward Lorenz发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应”；60年代，美国数学家Stephen Smale发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。

实务 PRACTICE
混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。

混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。理论上研究混沌的目的是多方面的：揭示混沌的本质（内在随机性）、刻画它的基本特征、了解它的动力性态，并力求对它加以控制，使之为人类所用。在过去20年中，混沌在工程系统中逐渐由被认为仅仅是一种有害的现象转变到被认为是具有实际应用价值的现象来加以探讨。近年来的大量研究工作表明，混沌与工程技术联系愈来愈密切，它在生物医药工程、动力学工程、化学反应工程、电子信息工程、计算机工程、应用数学和实验物理等领域中，都有着广泛的应用前景。

在应用方面，主要包括混沌信号同步化和保密通信，混沌预测，混沌神经网络的信息处理、混沌与分形图像处理，基于混沌的优化方法、混沌生物工程、天气系统、生态系统、混沌经济等。此外，控制混沌的技术还被应用到神经网络、激光、化学反应过程、流体力学、非线性机械故障诊断系统、非线性电路、天体力学、医疗以及分布参数的物理系统的研究工作中去。当前，在一些混沌显得非常重要而且有用的领域，有目的地产生或强化混沌现象，已经成为一个关键性的研究课题。

混沌理论在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面，已经有些许应用的例子。由于教育的对象是人，人是随时变动起伏的个体，而教育的过程基本上依循一定的准则，并历经长期的互动，因此，相当符合混沌理论的架构。也因此，依据混沌理论，教育系统容易产生无法预期的结果。此一结果可能是正面的，也有可能是负面的。不论是正面或是负面的，重要的是，教育的成效或教育的研究除了短期的观察之外，更应该累积长期数据，从中分析出可能的脉络出来，以增加教育效果的可预测性，并运用其扩大教育效果。

混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。根据混沌理论，格拉斯提出，过去作为决策基础的几个主要假定已经不再成立。这些假定是：

  · 最早建立混沌反控制理论，国际权威L.O. Chua评价“陈关荣是国际上混沌控制的早期开拓者之一和混沌反控制理论的创始人”；

  · 发现Lorenz系统的对偶系统和它们之间的临界系统，国际权威J.C. Sprott等称为“Chen系统”、“Lu系统”；

  · 提出单参数统一系统，国际权威D.J. Hill称为“基准系统”；

  · 提出广义Lorenz系统族并建立其理论框架。研究成果在工程技术等领域具有良好的应用前景。

派生 DERIVE
混沌控制由狄透 (William Ditto)、贾芬卡 (Alan Garfinkel)、约克 (Jim Yorke) 将此想法化为实用技术，用微小的变化开始，造成希望所想的巨大改变。

混沌控制方法有两种：

  · 通过合适的策略、方法及途径，有效地抑制混沌行为，使李雅普诺夫指数下降进而消除混沌；

  · 选择某一具有期望行为的轨道作为控制目标。

一般情况下，在混沌吸引子中的无穷多不稳定的周期轨道常被作为首选目标，其目的就是，将系统的混沌运动轨迹转换到期望的周期轨道上。不同的控制策略必须遵循这样的原则：控制律的设计须最小限度的改变原系统，从而对原系统的影响最小。从这个观点来看，控制方式可以分为两类：

  · 反馈控制：是一种十分成熟而且应用广泛的工程设计技术，它主要利用混沌系统的本质特征，如对于初始点的敏感依赖性，来稳定已经存在于系统中的不稳定轨道。一般来说，反馈控制的优点在于不需要使用除系统输出或状态以外的任何有关给定被控系统的信息，不改变被控系统的结构，具有良好的轨道跟踪能力和稳定性。其缺点在于要求一个比较精确的数学模型和输入目标函数或轨道，在只存在观测数据而没有数学方程时不能直接使用。

  · 非反馈控制：和反馈控制方式相比，非反馈控制主要利用一个小的外部扰动，如一个小驱动信号、噪声信号、常量偏置或系统参数的弱调制来控制混沌，该控制方式的设计和使用都十分简单，但无法确保控制过程的稳定性。

这两种方式都是通过混沌动力学系统的稍微改变，来求得系统的稳定解。在控制混沌的实现中，最大限度地利用混沌的特性，对于确定控制目标和选取控制方法非常关键。混沌控制的基本方法有：OGY方法、连续反馈控制法（外力反馈控制法和延迟反馈控制法）、自适应控制法以及智能控制法（神经网络和模糊控制）等。

来源：微物论微信公众号，检索发现文章整理自百度百科。