第四强度理论的冠名权

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材料力学中，第四强度理论被称冯·米塞斯屈服准则 (von Mises yield criterion, 1883-1953)，冯·米塞斯全名理查德·冯·米塞斯 (Richard von Mises)，是一名出生于奥匈帝国伦贝格（今为乌克兰利沃夫Lviv）的数学力学家。有些资料中经常把他和他的哥哥路德维希·冯·米塞斯 (Ludwig von Mises, 1881-1973) 混淆，哥哥路德维希有许多头衔，奥地利经济学家、历史学家、逻辑学家和社会学家，如果从社会影响力来看，哥哥路德维希似乎更胜一筹，这或许也是混淆两人的原因。在学习第四强度理论时，一定要注意，我们提到的米塞斯是弟弟理查德·冯·米塞斯，而不是哥哥路德维希·冯·米塞斯。

左：弟弟理查德·冯·米塞斯，第四强度提出者；右：哥哥路德维希·冯·米塞斯，经济、历史学家

图1 米塞斯兄弟

在Robert M. Jones所著的《塑性变形理论》(Deformation theory of plasticity) 中提到，1913年米塞斯公开发表了他的屈服准则，认为材料的畸变能达到了临界值，材料将发生屈服。不过，这一思想早在半个世纪前就已经有人想到了。1865年，著名的物理学家麦克斯韦 (James Clerk Maxwell, 1831-1879) 在写给开尔文勋爵 (The LordKelvin, 1824-1907) 的一封信中就表述了这一思想。他将材料变形过程中，每单位体积的总应变能分为：均匀拉伸或压缩的应变能和畸变应变能。他说：

“在这个题目上写论文我算的上是第一次。在此之前我还没看到过对这个问题的任何研究报告，这问题是：已知一元素上三个方向上的机械应变，它将在什么时候屈服？”“我有很充足的理由相信当畸变应变能达到某一极限时，元素（注：用于应力分析的微元体）才开始屈服。”

图2 麦克斯韦 James Clerk Maxwell, 1814-1885

可见，麦克斯韦已经给出了最大畸变能理论思想。然而，麦克斯韦并没有就这个问题深入讨论，也没有以正式出版物的形式向世人公开，人们是在他的书信出版后才知道了他的思想。

在公开的出版物中，畸变能理论是从应变能理论分离出来的。1885年，意大利数学家贝特拉米 (Eugenio Beltrami, 1835-1900) 最早建议采用材料每单位体积内储存的应变能（即应变能密度）的值作为判定金属失效的依据。

图3 Eugenio Beltrami 1835-1900

贝特拉米以轴向拉伸为例，给出应变能密度的表达式为

三维主应力状态下，写出应变能密度为

考虑广义虎克定律，代入上式，得

设单向拉伸时屈服应力为σys，则临界应变能密度

利用以上两式，写出屈服临界条件为

应变能屈服判据提出之后，并没有得到推广，因为它与实验结果严重不符。例如，材料在均匀的流体静压力下（任意方向都是主应力方向，且其值相等），材料储存的应变能很高，但它并不发生断裂或屈服。造成这一现象的原因主要在于，塑性变形起源于剪切，但在均匀流体静压力下，材料任意方向都是主应力方向，只有体积压缩没有剪切，也就不会发生塑性屈服。

一般情况下，材料的变形可分为：体积改变（即麦克斯韦说的膨胀或压缩）和形状改变（畸变）。体积改变由正应力引起，形状改变由剪切应力引起。

这说明判定金属材料的屈服，采用总应变能是不合理的，因为总应变能包括了体积改变所存储的应变能，该部分不引起塑性变形，应该被去掉，只用畸变能来判定金属材料的屈服。

1904年，波兰机械工程师、教育家和科学家胡博 (Tytus Maksymilian Huber, 1872-1950) 在他的博士论文和一篇名为“Fundamentals of Strength Theories”的论文中对应变能判据进行了修改，去掉体积形变应变能，只用畸变能来阐述屈服准则。不过由于他的论文用波兰语写成，其影响仅限于波兰国内。

图4 Tytus Maksymilian Huber, 1872-1950

胡博给出的畸变能表达式为

简单拉伸下，只有σ1 不为0，σ2 和σ3 均为0，利用简单拉伸下的屈服应力σys 可得最大畸变能的值，即

利用上两式建立屈服判据：

这已经是我们现在教材中畸变能强度准则了。随着研究人员的实验验证，越来越多的人们认可了畸变能理论的正确性。

铁木辛柯著《材料力学史》中介绍畸变能理论时，主要介绍了胡博的工作，米塞斯的工作只在脚注中注释“米塞斯独立的提出了同一观点”。Robert M. Jones所著《塑性变形理论》中指出米塞斯在1913发表的论文，是畸变能准则中引用最多的论文，大概也是这个原因，我们习惯于称畸变能理论为“米塞斯屈服准则”。

1924年，第一届应用力学大会在荷兰Delft举办，这是享有国际力学奥林匹克美誉的国际理论与应用力学联盟 (IUTAM) 系列会议的前身（第六届应用力学大会上改名），胡博、米塞斯以及畸变能理论另一位关键学者海因里希·亨基 (Heinrich Hencky, 1885-1951) 相遇并深入讨论了畸变能理论。亨基在1904年开始关注到胡博的工作并开始相关研究工作，系统描述畸变能理论的物理解释，并用畸变能来构建塑性变形理论。

图5 HeinrichHencky, 1885-1951

假设材料在承载后，其上某一点的应力状态可用张量表示为

则该应力张量可以表示为两个部分：反应体积膨胀缩小的应力球张量以及反应畸变的应力偏张量，即

上式中，第一部分即为应力球张量，它表征体积变形部分，且

后一部分称为应力偏张量，表征畸变部分。其应变能也可以对应的分为两个部分，如图6所示，相应的应变能分为：对应于体积改变的应变能和对应于形状改变的畸变应变能。

图6 应变能由体积改变和畸变两部分组成

则畸变能U 就可由应力偏张量的第二不变量J2 写出：

利用U=J2/2G 很容易得到与下式相同的屈服判据。

回顾畸变能理论的发现历程，麦克斯韦最早提出畸变能准则的思想（1856年），胡博最先建立理论体系（1903年），米塞斯的工作被人引用最多（1913年），亨基对畸变能理论解释的最深入，并建立塑性变形理论（1924年）。因此，他们都有对第四强度理论的冠名权，实际上，一些强度理论的资料中也把米塞斯屈服准则 (Mises yield criterion)称为胡博-米塞斯屈服准则 (Huber-Mises yield criterion) 或者胡博-米塞斯-亨基屈服准则 (Huber-Mises-Henckyyield criterion)，考虑到麦克斯韦的贡献，我们也可以称之为麦克斯韦-胡博-米塞斯-亨基准则 (Maxwell-Huber-Mises-Hencky yield criterion)。

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。