合力的作用点与三角形的心

weixin

阿基米德（公元前287年~前212年）提出力矩的概念，解决了平行力的平衡问题：若一个力与多个平行力平衡，则其等值反向的作用力就是那些力的合力。显然，各个分力关于合力作用点的力矩之和为零。

1

中学平面几何介绍三角形时说，若在顶点布置等重物体或相同作用力W，则B、C 两处作用力的合力在中点D。三力的合力作用点一定在中线AD 上，当然也在另两条中线上。三条中线必然交于一点，即三角形的重心M，其分中线为2:1。该点也是均质等厚三角板的质心。

顺便说一句，若在四面体的顶点布置等重物体而求其重心，则容易理解四面体的对边之中点连线交于一点，且该点为3条连线之中点。

2

如果在三个顶点布置物体的重量与对边的长度成比例，则B、C 两处作用力的合力作用点E 满足BE/EC=WC/WB=AB/AC。于是AE 为∠A 的平分线，且三力的合力作用点一定在AE 上。当然也在另两条角平分线上，三条角平分线必然交于一点，即三角形的内心I：内接圆的圆心。又，若将A 点处作用力反向，则三力的合力作用点在AE 的延长线上、以及∠B 和∠C 的外角平分线上，三线必然交于一点即三角形的旁心。

3

在三个顶点布置物体的重量与角度的正切值成比例，则B、C 两处作用力的合力作用点F 满足BF/FC=WC/WB=tanC/tanB。于是，AF 为BC 边的高，且三力的合力作用点一定在AF 上，当然也会在另两条高线上。三个高必然交于一点即垂心H。

因tanC=–tan(A+B )，有tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC ，可以选取图中系数w 而使三点作用力之和为单位1。

4

如果在三个顶点布置物体的重量具有图示数值，三角形处于水平状态，若外接圆半径为R，则B、C 两处作用力以及A 处作用力关于中垂线DD' 的力矩分别为

显然，三处作用力关于中垂线DD' 的力矩为零，因而合力作用点一定在DD '上，当然也在另两条中垂线上。三者必然交于一点，即三角形的外心O。

5

上面两节的对应点作用力之和正好为1，如A 点

如前所述，垂心H 处作用的合力为1，而重心M 处的总合力为3。于是，外心O 处作用的合力为2。这就证明了“三角形的重心在外心与垂线的连线上，且分其为2:1。这一结果是欧拉1765年发现的。

6

几何证明是容易的。延长BO 至Q，使OQ=BO，即Q 在外接圆上。容易知道AHCQ 为平行四边形，因而CH//=QA//=2OE。于是，中线CE 与OH 的交点M 分两线均为2:1，点M当然是重心。

取HC 的中点P，连接EP 交OH 于N，因HP//=EO 知道N 为EP 及OH 的中点，G 为垂足，因而在EP 为直径的圆上。再注意到EO//=PC，因而EP//=OC 即该圆直径等于外接圆的半径。于是，三边的中点、垂足以及垂心与顶点连线之中点都在这个“九点圆”上。据此也就知道垂心H 将高所分两段之乘积相等，事物内部的联系真是复杂呢。

作者注：我不知道此前是否有人利用合力作用点证明外心-重心-垂心共线，欧拉线以及九点圆读高中时就知道，不过，此次写作时没有查阅任何书籍，只是在拙稿完成之后看了一下https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_line 以确认年代。