有限元模态分析详解

娜迦海妖

结构的振动一直是工业领域产品分析的重点，在振动的仿真分析中，模态分析是其最基本的分析类型，通过研究结构的固有频率和振型对产品的设计提供指导。今天通过理论概念以及ABAQUS中的仿真带着大家认识一下模态分析。

01 模态分析理论认识

►1、首先需要了解模态分析所解决的物理问题：

对于任一系统，其自由振动的运动微分方程可用下式表示，模态分析即为求解该式的特征值与特征向量：

其中M、K、C均为n*n的矩阵，s、x、v为n*1的矢量，n为系统自由度数量。

►2、那么什么叫做自由度？

描述物理在空间中位置所需要的独立坐标数量，对于物理实际模型，自由度为无限多。

为了更好的理解模态分析，接下来以二自由度无阻尼自由振动系统（如图1所示）为例进行介绍。

图1 二自由度弹簧质量系统

图1所示系统的运动微分方程如下所示：

取方程组的解为如下形式：

将解带入方程可得：

欲使上式成立，则：

当X1=X2=0时，上式明显成立，对于非零解，其系数行列式必须为零，可得：

上式的两个根为：

其中w1和w2成为系统的固有频率，X1和X2为对应的模态向量，也叫振型。

02 ABAQUS案例求解

一、前处理
1、在Part模块，创建两个point型part
2、在property中通过special->inertial，指派质量大小为10；
3、在Assembly模块创建装配体，两点之间的距离为100，如图2所示；

图2 装配体模型

二、求解
1、在Step模块创建Frequency分析步，提取前两阶模态；
2.1、在interaction模块，创建两个RP点，与两侧RP点各间隔100大小，如图3所示；

图3 RP点创建

2.2、在interaction模块，通过special->Spring，在各点之间分别创建弹簧单元，弹簧刚度为1000。

图4 弹簧创建

3、在Load模块中，对两侧RP点创建固定约束，对中间两个RP点释放X方向平动自由度。

在Job模块中创建作业并提交求解。

三、后处理

3.1、求解完成后通过monitor查看data file，得到如图5所示结果：

图5 模态结果查看

将各质量、弹簧数据带入上述理论公式，可得解析解为w1=10，w2=17.3205，由于ABAQUS结果有效位数为3位，因此会有微小误差。