有限元网格划分的基本原则与通用方法

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本文首先研究和分析有限元网格划分的基本原则，再对当前典型网格划分方法进行科学地分类，结合实例系统地分析各种网格划分方法的机理、特点及其适用范围，如映射法、基于栅格法、节点连元法、拓扑分解法、几何分解法和扫描法等。最后阐述当前网格划分的研究热点，综述六面体网格和曲面网格划分技术，展望有限元网格划分的发展趋势。

引  言

有限元网格划分是进行有限元数值模拟分析至关重要的一步，它直接影响着后续数值计算分析结果的精确性。网格划分涉及单元的形状及其拓扑类型、单元类型、网格生成器的选择、网格的密度、单元的编号以及几何体素，在有限元数值求解中，单元的等效节点力、刚度矩阵、质量矩阵等均用数值积分生成，连续体单元以及壳、板、梁单元的面内均采用高斯 (Gauss) 积分，而壳、板、梁单元的厚度方向采用辛普生 (Simpson) 积分。

有限元网格划分基本原则

有限元方法的基本思想是将结构离散化，即对连续体进行离散化，利用简化几何单元来近似逼近连续体，然后根据变形协调条件综合求解。所以有限元网格的划分一方面要考虑对各物体几何形状的准确描述，另一方面也要考虑变形梯度的准确描述。为正确、合理地建立有限元模型，这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。

1. 网格数量

网格数量直接影响计算精度和计算时耗，网格数量增加会提高计算精度，但同时计算时耗也会增加。当网格数量较少时增加网格，计算精度可明显提高，但计算时耗不会有明显增加；当网格数量增加到一定程度后，再继续增加网格时精度提高就很小，而计算时耗却大幅度增加。所以在确定网格数量时应权衡这两个因素综合考虑。

2. 网格密度

为了适应应力等计算数据的分布特点，在结构不同部位需要采用大小不同的网格。在孔的附近有集中应力，因此网格需要加密；周边应力梯度相对较小，网格划分较稀。由此反映了疏密不同的网格划分原则：在计算数据变化梯度较大的部位，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格；而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，网格则应相对稀疏。

3. 单元阶次

单元阶次与有限元的计算精度有着密切的关联，单元一般具有线性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的单元称为高阶单元。高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界，且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数，所以增加单元阶次可提高计算精度。但增加单元阶次的同时网格的节点数也会随之增加，在网格数量相同的情况下由高阶单元组成的模型规模相对较大，因此在使用时应权衡考虑计算精度和时耗。

4. 单元形状

网格单元形状的好坏对计算精度有着很大的影响，单元形状太差的网格甚至会中止计算。单元形状评价一般有以下几个指标：

  · 单元的边长比、面积比或体积比，以正三角形、正四面体、正六面体为参考基准。

  · 扭曲度，单元面内的扭转和面外的翘曲程度。

  · 节点编号。节点编号对于求解过程中总刚矩阵的带宽和波前因数有较大的影响，从而影响计算时耗和存储容量的大小。

5. 单元协调性

单元协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递给相邻单元，为保证单元协调，必须满足的条件是：

  · 一个单元的节点必须同时也是相邻点，而不应是内点或边界点。

  · 相邻单元的共有节点具有相同的自由度性质。另外，有相同自由度的单元网格也并非一定协调。

网格生成通用方法

有限元网格划分方法难以准确分类，分类方法有很多，可以按产生的单元类型、生成单元的维数、自动化程度等进行分类。

1. 映射法

映射法的基本思想是实际图形与标准图形的双向映射，具体有三个步骤：

  · 根据形体边界的参数方程，利用适当的映射函数，将待划分的物理域映射到参数空间，形成规则参数域；

  · 对参数域进行网格划分；

  · 将参数空间内单元的网格反向映射到欧氏空间，从而生成实际的网格。

这种网格控制机理有以下几个缺点：

  · 映射法不是完全面向几何特征的，所以很难完成自动化，尤其是对于3D区域；

  · 网格局部控制能力差；

  · 各映射块之间的网格密度相互影响程度很大，改变某一映射块的网格密度，其它映射块的网格都要做相应的调整；

  · 对于形状较为复杂的形体适应性差，要求事先根据所要产生的网格类型将目标域分割成一系列可映射的子区域。子域分解繁琐，所需人工交互多，难以实现网格自动的生成。

2. 基于栅格法

基于栅格法也叫空间分解法。该算法的基本流程是：

  · 首先，用一组不相交的栅格覆盖在物体之上，既可在栅格的规则点处布置节点，也可在栅格单元中随机布置节点；

  · 再对栅格和物体进行相交检测，保留完全或部分落在目标区域之内的栅格，删除完全落在目标区域之外的栅格；

  · 然后，对与物体边界相交的栅格进行调整、剪裁、再分解等操作，使其更准确地逼近目标区域；

  · 最后，对内部栅格和边界栅格进行栅格级的网格剖分，进而得到整个目标区域的有限元网格。

3. 节点连元法

节点连元法一般分为两步：

  · 在物体的边界和有效区域内按照网格密度的要求均匀布点；

  · 根据一定的准则将这些节点连接成三角形或四面体网格。

4. 拓扑分解法

拓扑分解法首先是由英国剑桥大学的Wordenwaber 提出来的。拓扑分解法是从形体的拓扑因素着手进行分割，而不过问元素的具体形状。首先，假设网格顶点全部由目标边界顶点组成，那么可以用一种三角化算法将目标用尽量少的三角形完全分割覆盖。

5. 几何分解法

几何分解法最大的特点是节点和单元同步生成。该方法较多地考虑了待分域的几何特征，确保生成质量较好的网格单元。

6. 扫描法

扫描法是将离散化的基本单元形体进行旋转、扫描、拉伸等操作，获得高维网格的一种方法。这种方法难度较低，容易实现，在当今大多数商用CAD软件和有限元前置处理软件中均有这种功能。但是这种方法只适合于形状简单的三维物体，且主要靠人机交互来实现，自动化程度低。

研究热点

近年来，有限元分析在各种工程领域中得到了广泛的应用，网格划分技术的理论基础已日趋成熟。有限元网格划分的研究领域已由二维平面问题转移到三维实体，研究重点已经由三角形（四面体）网格转变为四边形（六面体）网格，注重网格的全自动生成、网格自适应等研究。

1. 六面体网格划分

当前，六面体单元网格生成算法主要有映射单元法、单元转换法、基于栅格法、多子区域法、扫描法和投影法等。

  · 映射单元法：先把三维实体分成几个大的20节点六面体区，然后使用形函数映射技术把各个六面体区域映射为很多细小的8节点六面体单元。

  · 单元转换法：通过其他单元转化为六面体单元。

  · 基于栅格法：首先产生六面体网格模板，将其覆盖到需要网格化的三维实体上。

  · 多子区域法：分为三个主要步骤，首先将复杂目标域分解为一定数量的简单子区域，然后对每个子区域进行六面体网格划分，最后将各个子区域的网格组合成全局网格，从而形成目标域的整体网格。

  · 扫描法：是由二维四边形有限元网格通过旋转、扫描、拉伸等操作而形成六面体网格的一种方法。

  · 投影法：是利用良好的四面体网格作为投影网格，通过模板网格节点与待分实体表面关键点的对应关系控制投影的路径与比例缩放情况。

2. 曲面网格划分

工程结构中常用的薄壳结构都是由自由曲面组合而成的。三维曲面是三维实体的退化，是一种特殊形式，三维曲面的有限元网格划分的应用范围很广。目前的曲面网格生成方法可粗略地分为直接法和映射法两种。

  · 直接法的曲面网格划分是直接在曲面的物理空间进行，网格划分过程直接以曲面的局部几何形态为参考，并根据曲面的局部状况采取不同的剖分策略。

  · 映射法首先将曲面边界映射到二维参数空间，在二维参数空间中进行网格划分，然后将划分结果反向映射到物理空间形成曲面网格

展  望

目前有限元网格生成技术已经相当成熟，可以实现三维领域的网格划分全自动，但在网格划分方面依然有很大的研究空间。有限元网格划分还有许多难题没有得到彻底解决，网格划分的效率、单元质量等，还有待进一步提高。

来源：企鹅号 车达令