弹性力学物理方程（一）

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我们知道，弹性力学基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程。其中，物理方程表征了材料在发生变形时应力与应变之间所满足的关系，因此，也被称为应力-应变关系。因其反应材料的本质特性，也被称为本构关系，在弹性力学中简化为广义胡克定律。弹性力学旨在构建固体变形的一般规律，本文将从数学连续性的角度出发，考察在三维空间一般情形下的应力-应变关系，并讨论如何由一般情况导出广义胡克定律。

一、一般情形

在三维空间一般情况下，考虑剪应力互等定理，一点处的应力状态和应变状态可由6个独立的应力分量和6个独立的应变分量唯一确定，它们分别为

认为应力分量为应变分量的一般函数，设

这就将每一个应力分量写成了关于6个应变分量的多元函数。我们以σ1 为例来考虑，只要函数f1为光滑连续函数，利用多元函数泰勒级数展开，可得

其中，(f1)0 表示弹性体的初应力，不考虑初应力，即 (f1)0=0。上式只展开到一阶项，更高阶的项表示在余项R(ε) 中，由于弹性力学中考虑小变形假设，余项R(ε) 中表示高阶无穷小项，忽略高阶无穷小之后，上式将变为应变分量的一次函数，并且函数对各应变分量的一阶导数在初始状态也应为常数，设

因此，式

可近似写成一次函数

为了方便描述，我们做如下标记：

对应的当σy 按照下式进行泰勒级数展开，

并忽略二阶以上的高阶无穷小时，也可以得到类似于下式的方程，

并标记其系数为

类似地，所有的应力分量都利用泰勒级数展开，并忽略二阶以上的高阶无穷小，都可以写成下式的形式。

将应力分量和应变分量各自排成一列成为列阵，即

因此，三维一般情况下，应力-应变关系可以表示为矩阵形式

这里，[C] 为物理方程的系数矩阵，共36个常数。可以看出，当系数矩阵中所有常数均不为0时，所有6个应变分量都会影响任何一个应力分量，这将意味着剪切应变不仅会引起切应力的改变，还会引起到正应力的改变；同样，线应变的改变不仅会引起正应力的改变，也会引起切应力的改变。反过来，应力对应变的影响也类似的耦合在一起。具有这样特性的材料被称为极端各向异性材料，这样的材料在任意方向上都将表现出不同的力学性能。

不过，即便是极端各向异性材料，系数矩阵的36个常数也并非完全独立的。我们知道，当压缩一个线性弹簧时，外力做功等于弹性势能的增加量，为

这里，E 表示弹性势能，F 为外力，S 为位移。将这一定义应用到弹性微元体上，若应变分量的改变量为ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6，则微元体的应变能（成为应变能密度）改变量为

上式中假定了材料为线弹性材料。并且e 表示应变能密度。引入张量记号，上式可写为

在张量体系中，具有某一项中有两个相同的下标时，称之为哑标，表示进行求和计算，将上式展开后，即为

再回到应力-应变关系矩阵形式，针对于每一个应力分量，利用哑标可写为

这里，有一对下标j，表示需要求和。即上式展开后，可写成

当i 从1变化到6，所有的应力分量均可表出。现在把上式代入到

得

同理，应变能密度也可写为e=1/2σjεj，将σj=Cjiεi代入，可得

由于相同的应变分量应该引起相同的应变能密度，因此上两式应该相等，即有Cji=Cij，这说明物理方程的系数矩阵具有对称性，因此物理方程中的系数矩阵应该为对称矩阵，即系数矩阵为

所以，极端各向异性材料物理方程包含21个独立的常数，对角线两侧15对常数对称相等，36-15=21。结合三维一般情况下应力-应变关系矩阵形式公式可知，C11 表示ε1(εx) 对σ1(σx) 的贡献系数，C12 表示ε2(εy) 对σ1(σx) 的贡献系数，C13表示ε3(εz) 对σ1(σx) 的贡献系数，C14 表示ε4(γxy，剪切应变) 对σ1(σx) 的贡献系数，以此类推，可知系数矩阵中各系数的意义。

二、具有一个弹性对称面的情形

所谓弹性对称面具有这样的性质：关于对称面对称的点处力学性能完全一致。设某材料具有一个弹性对称面，将该对称面设为xoy 坐标平面，这样在材料上建立图1所示的两个对称坐标系，在两个坐标系中求解力学量，并不会因为坐标系的不同而不同。

图1 关于xoy 平面对称两个对称坐标系

仍考虑应变能密度e，将e=1/2Cijεjεi 展开后，有

假设材料上任意一点A，设其在坐标系 (a) 中的坐标为 (x,y,z), 则在坐标系 (b) 中坐标为 (x,y,-z)。假设A点在坐标系 (a) 中z 方向的位移为w，则在坐标系 (b) 中z 方向的位移为-w。考察几何方程，

可见，在两个坐标系中，位移w 求导，两个坐标系中反号，位移量对z 求导，两个坐标系中反号。因此，六个应变分量在两个坐标系中，只有ε5(γyz=əv/əz+əw/əy) 和ε6(γxz=əu/əz+əw/əx) 会变号，其它均保持不变。然而，A点的应变能不会因为坐标选取不同而不同，因此，为了保证应变能相同，在下式中

含有一次ε5 或ε6 的项，其系数应该为零。因此，有

系数矩阵可记为

这样，对于物理方程系数矩阵，其独立的21个常数又减少了8个，共有13个独立常数。

三、具有三个弹性对称面的情形

如果某一材料有三个弹性对称平面，如图2所示，设空间任意点A 在坐标系 (a) 中的坐标为 (x,y,z)，在坐标系 (b) 中的坐标为 (x,-y,z)，在坐标系 (c) 中的坐标为 (-x,y,z)，在坐标系 (d) 中的坐标为 (x,y,-z)，因此，对坐标求导后，在两对称的坐标系内，互为相反数。位移分量u、v、w 在各自的对称坐标系下也会反号。

图2  关于三个坐标面对称的坐标系

(a) 与 (b) 关于xoz 对称；(a) 与 (c) 关于zoy 对称；(c) 与 (d) 关于xoy 对称

类似于具有一个弹性对称面，考虑坐标系 (a) 和 (b)，同理可推出

和

因此，含有一次ε4 或ε5 的项，其系数应该为0。因此，有

再考虑坐标系 (a) 和 (c)，可推出

和

因此，含有一次ε4 或ε6 的项，其系数应该为0。因此，有

综合

可知，当存在三个弹性对称面时，与只有一个弹性对称面相比，还有四个常数为0，它们分别为

此时，系数矩阵为

这种具有三个弹性对称面的材料被称为正交各向异性材料。

四、横观各向同性情形

设在正交各向异性材料的三个正交弹性对称面中，有一个弹性对称平面内材料具有各向同性材质，这样的材料被称为横贯各向同性材料。如图3所示的微元体在水平平面内具有各向同性性质，则对该微元体施加x 方向（如图中所示σ）的载荷和y 方向（图中垂直于σ 的方向）的载荷，其变形效果相同，即

同理，施加如图中τ 切应力和垂直于τ 方向的切应力，其变形效果也完全相同（弹性对称面的力学性能相同），即

图3 微元体模型

这意味着对于横贯各项同性材料，还将减少2个常数，系数矩阵变为

此外，对于横贯各向同性材料，C44 也不是独立的。为了说明这一点，我们讨论纯剪状态下的应变能，如图4所示

图4  纯剪应力状态

在纯剪应力状态下（图4中蓝色线表示），只有应变分量ε4≠0，其余均为0，因此，应变能密度可表示为

由于纯剪状态等价于图4红色所示的主应力状态（旋转45°后得到），有

代入到应力-应变关系的矩阵，求应变分量为

求主应力状态的应变能为

将

代入到

并考虑平面内同性，即C1'1'=C2'2'=C11，C1'2'=C2'1'=C12，则可得

使下两式相等

即可得到

这就证明了C44 不是一个独立的量，它可由C11 和C12 表出。因此，在横贯各项同性条件下，系数矩阵为

对于横贯各向同性，其独立系数为C11、C12、C13、C23、C55，共5个独立的弹性常数。

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。