弹性力学物理方程（二）

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五、各向同性情形

各向同性材料表示材料任意方向的性质都相同，因此在x、y、z 方向施加载荷，弹性系数相同，即

在各个平面内产生剪切变形，剪切变形系数也相等

由于材料为各向同性和正交性，y 方向线应变对σ1(σx) 的贡献系数C12 应该等于z 方向线应变对σ1(σx) 的贡献系数C13；x 方向线应变对σ2(σy) 的贡献系数C21应该等于z 方向线应变对σ2(σy) 的贡献系数C23；再考虑系数矩阵的对称性，有

因此，各向同性材料的系数矩阵为

从中可以看出，对于各向同性材料，其独立参数只有2个，C11 和C12。结合应力-应变关系的矩阵，可得

根据拉梅给出的物理方程

对比上两式可知，

而且

和

这里E 和μ 分别为杨氏模量和泊松比，因此有时说各向同性材料包含两个常数：λ和G （它们被称为拉梅常数），有时也称各向同性材料包含两个常数为E 和μ。

最后一个问题

在应用物理方程时，我们经常听说物理方程的其它名称，如本构关系，应力-应变关系，广义胡克定律。实际上，这个名称并不完全相同，或者它们各有侧重。

称其为物理方程时，是相对于平衡方程、几何方程而言的。平衡方程表达了微元体受力方面要满足的平衡条件，几何方程表达了微元体发生变形时需要满足的几何条件。这两类方程的建立不涉及任何有关材料的性质，物理方程则补充了材料的性质，把特定材料的力和变形联系起来，反应了材料物理变形特性。

称其为本构关系时，有一种专门把材料的力与变形性能单独拿出来进行研究的意味。如材料的本构关系研究中，就不涉及材料的平衡方程、几何方程，仅仅是研究材料的力学性能。更具体一些，本构关系研究主要在于判定某种材料的本构关系含有多少个独立常数，并证明它们的完备性，以及通过实验确定出这些常数的值。

应力-应变关系是一个不严谨的称呼。例如，一种新材料在某一方向上进行了拉伸实验，得到了加载条件下的应力-应变曲线，也被称为材料的应力-应变关系。但是，这条曲线无论如何也不能称之为本构关系。为了获得本构关系，需要从不同的加载方向、以及不同的加载形式（拉伸、压缩、扭转、剪切等）对材料做全面的力学性能实验，最终获得完备的、不可约的本构常数（本构关系的系数矩阵）。这时才能称之为本构关系。

可见，应力-应变关系，本构关系，物理方程，三个概念之间有一种递进关系。在实验中通过加载测试，得到的应力-应变曲线都可以称为应力-应变关系，但还不能称之为本构关系；当对材料进行各向加载、获得全面的力学性能后，通过分析、加工可获得本构关系，算是较“全面地”掌握了材料的力学性能；本构关系可以作为物理方程，与平衡方程、几何方程一起，组成封闭的方程组，对弹性力学问题进行求解。

至于通常所说的广义胡克定律，则是对各向同性材料本构关系在线弹性条件下的一个简化。在力学中，只要提到胡克定律，就指力与变形成正比例关系。“广义”突出了材料在复杂应力状态下，以区别于单向应力状态。广义胡克定律从形式上可称为应力-应变关系，它表征了各向同性材料的本构关系，可以与平衡方程、几何方程一起，作为物理方程求解弹性力学问题。

参考文献：
张少实, 庄茁. 《复合材料与粘弹性力学》第2版. 机械工业出版社. 2011.6
徐芝纶. 《弹性力学》第5版. 高等教育出版社. 2016.3

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。