关于理论力学解题的教学

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一、引  言

多数学理论力学的学生都感到解题比较困难，这种困难主要有两方面的原因：

  · 一方面是，理论力学具体知识的理解不准确、掌握有欠缺和应用不熟练，目前已有大量理论力学的习题指导类书籍出版，以帮助解决这些问题。这方面的问题本文不拟讨论。

  · 另一方面是，学生对理论力学课程特点不够了解。理论力学是工程专业学生所学的第一门技术基础课，在此之前他们都是学习数学、物理等基础课。技术基础课不仅像基础课一样要求学生解题思路灵活，同时作为一种最基本的工程素质培养，强调解题过程的清晰规范。

在教学中，我们注意到部分学生不能及时熟悉理论力学课程的特征和要求，因此在解题时可能显得不得要领。在开始学理论力学时，内容相对简单，与物理课程差别不显著，这时学生可以凭借物理课中的解题方法和经验，以某种在理论力学教师看来颇为神秘的方式得出正确的答案。但随着学习的深入，物理学的知识和经验难以发挥作用时，学生面对习题又会无从下手。同时，与基础课所有题目都有唯一答案不同，理论力学课程某些习题的答案可能有不同的形式。此外，学生的题解往往不能区分问题的力学和数学方面，因此含有过多的数学细节。本文总结在教学过程中处理这些问题的实践。

二、解题的一般过程

我们在课程绪论中就说明了理论力学的解题步骤。

首先，明确研究对象。把所研究的系统从所在环境中分离出来，在静力学和动力学中，需要画受力图以明确系统受力情况。

其次，用数学公式表达描述研究对象特性的物理或几何关系。在静力学中，主要是平衡方程；在运动学中，是运动质点或刚体的运动方程；在动力学中，是动力学方程的矢量或能量表达。用不同的方法可能导出形式不同的数学公式，它们将导致相同的结果，但求解难易程度可能存在差别。

第三，求解数学方程。静力学中主要是线性代数方程组，偶尔也涉及非线性代数方程。运动学包括求导运算和矢量方程的求解；动力学中可能涉及代数方程，也可能涉及微分方程，这些方程可能是线性也可能是非线性的。

最后，分析结果的物理意义及合理性。如果所得到的不合理，需要重新核对前面3个步骤。需要特别强调的是，一旦将问题清楚地表述，必须严格依据理论力学中的相关理论进行分析而得到问题的解答，在此过程中不需要任何个人直觉和想象力。当然，校核答案时需要常识和个人经验。

上述解题步骤既是对解题思路的提示，也是对解题过程的规范。在教学中，我们对于不同的习题强调解题步骤的不同侧面。对于比较简单的习题，通过解题熟悉掌握规范的解题步骤，使得解题过程规范避免题解杂乱无章；对于比较复杂的习题，通过掌握的解题步骤提供分析问题的思路，使得思路的展开有一定程式而避免束手无策。

特别需要对学生解释，清晰规范的表达是工程技术人员所要求的重要素质。理论力学作为工程教学计划的一部分，也要培育学生这方面的能力。因此，理论力学课程不仅要想得正确，算得准确，还有表述清楚。

三、矢量表示形式

理论力学所研究的力、速度、加速度等都是矢量，矢量可以用不同的形式表示，如用矢量的大小和方向、用所选择坐标系的单位矢量和在所选择坐标系各轴上的投影，坐标系也可以有多种选择。不同表示形式都是正确的，但在不同问题中方便程度有差别。数学和物理课程的学习使学生坚信结果应该是唯一的，因此对“多种”结果都是正确的很困惑。

这种困惑从最开始的受力分析开始。一般铰链约束的约束力方向不能确定，要用分量表示。但当被约束物体是二力构件或仅受三力而汇交时，铰链约束力的方向是可以确定的。在教学要求中，二力构件必须判断出来，而三力汇交定理可以应用也可以不应用。这两者的区别在于，没有判断出二力构件对后面的解题影响很大，而三力汇交定理虽然把平面一般力系转化为汇交力系，但很多情况下由于几何方面计算的复杂性，这种转化并没有使求解得到简化。这种解释使学生初步了解矢量的各种表示都正确，但有些问题中某种特定的表示更方便。

类似的问题也出现在静力学中的约束力计算、运动学中的速度和加速度计算，以及动力学的动量和动量矩计算等。只要是矢量计算，就有如何表示的问题。可以对利用方便的表现形式解决问题作进一步讲解，在运动学中特别是复合运动和刚体平面运动中，自然轴系的投影用得很广泛，因为运动轨迹已知时这样不仅知道加速度的方向，而且可以由速度分析得到法向加速度的大小。当自然轴系也有局限，因为是随时间变化的运动标架，所以积分形式的动力学关系不能在自然轴系上投影。在动力学中，需要运动学补充关系时，有时也需要矢量关系的投影形式，此时矢量关系的投影形式要与动力学方程的投影形式一致。

通过比较和说明，学生可以进一步理解，矢量不同的表示形式都是正确的，但某些形式的表示对于问题的研究更方便。

四、数学细节的处理

习惯于数学和物理课程学习的学生，往往不注意区分解题的力学思路和数学细节，甚至出现本末倒置的情况。如在静力学中，可能会对列写方程的依据，如选取的研究对象和采用的平衡方程的形式不做任何说明，而求解方程的过程写得较详细。在运动学中，对动点动系的选择语焉不详，而有求解三角形的具体计算或者对确定瞬心的依据不加解释，而有很详细的几何尺寸计算。这样不仅使题解的重点不突出，而且不利于思路清晰地分析问题。

我们在解题教学中明确要求学生区分力学内容和数学细节，力学内容一定要清晰规范。而大多数数学细节都可以写在草稿上，题解中只要有相应结果就可以。具体把解题需要的数字知识分为3类：

  · 第一类，初等数学知识，如代数方程求解和几何、三角计算，这类知识的应用过程不需要出现在题解中，只要给出需要的结果。应用标准也与数学课程要求不同，例如各种角度的三角函数值可以直接用计算器，而不必用利于三角和差倍半公式从特殊角度的三角函数值计算，有些几何尺寸可以直接用从图上量得再按比例换算，未必一定要严格的几何或三角计算。

  · 第二类，高等数学的基础知识，如求导数和积分的运算，题解中也不需要列出详细过程，但也可以简单提及若干关键难点的处理。例如，运动学中点的运动部分，有时用隐函数的求导法比用显函数的求导法大为简便。

  · 第三类，学生一般不太熟练而理论力学课程中也要适当讲解的数学知识，主要是微分方程的求解，这类知识应用过程的要点应该在解题中出现。

通过这些要求，我们试图使学生在解题过程中关注问题的力学实质，同时也理解数学的工具作用又不喧宾夺主。

五、结束语

本文分析学生在理论力学解题中出现的问题，并提出相应的教学对策。这里所讨论的问题与学生对具体的理论力学知识掌握无关，而是由于过去在数学和物理等基础课中形成的习惯和思维方式问题。通过解题的教学，不仅提高学生的解题能力，也使学生对理论力学课程特点有更深入的理解和认识。

参考文献：
陈立群，戈新生，徐凯宇，薛纭. 理论力学. 北京：清华大学出版社，2006

发表于：力学课程报告论坛(2008年11月14-16日, 南京)论文集2008(高等教育出版社, 2009): 187-189

来源：陈立群科学网博客，作者：陈立群。