浅说泊松比的由来

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泊松比的定义是如此的简单，它被定义为材料在纵向加载时，横向应变与纵向应变的比值再取相反数。举例而言，假设有长为L、直径为D 的圆杆，若在长度方向施加载荷后，长度方向伸长△L，直径收缩△D，则泊松比μ 表示可表示为

但你可能想象不到，如此简单的泊松比，其发展却充满了争议。

图1 泊松比示意图

最早发现泊松比的科学家是英国的博学家托马斯·扬 (Thomas Young, 1773-1829年)。1807年，托马斯·扬在他的自然哲学和机械艺术讲义 (Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts) 中提到：We may easily observe that if we compress a piece of elastic gum in anydirection, it extends itself in other directions; and if we extend it in length,its breadth and thickness are diminished. 我们可以很容易地观察到，如果我们在任何方向上压缩一块弹性树脂材料，它向其他方向扩展；如果我们拉伸它，它的宽度和厚度都会减小。

这很可能是最早关于横向变形效应的实验记录。不过，托马斯·扬只是提到了材料在加载时会发生横向变形的现象，并未对这一现象进行深入的研究，并将横向变形与纵向变形量的比值称为“挤压-拉伸比”。

在当时，基于“微粒-弹簧”模型的弹性理论分子假说深入人心，人们很难将这一比值视为材料的一种弹性常数。这一模型认为材料是由微粒组成的（类似于原子、或分子），这些微粒之间通过“弹簧”相连，如图2所示，这很好的解释了材料弹性变形的“胡克定律”，但由于该模型中只有弹簧变形，让人误认为描述材料弹性变形的只有一个常数，即弹性模量（杨氏模量）。

图2 材料的“微粒-弹簧”模型

泊松 (Siméon Denis Poisson, 1781-1840)，法国数学家、工程师和物理学家。1798年他考入巴黎综合理工，2年内（1800年）就出版了2本回忆录，一个讲数量消除法，另一个讲有限差分。这些成果使他得以以助教身份留校，此时的泊松只有18岁，1806年就接替了傅里叶在综合理工的职位。1818年3月，被选为英国皇家学会外籍会员。1820年，他被选入Conseil Royal de l’Instruction Publique（皇家公共教育委员会），成为全国数学教学主任。1822年，被选为美国艺术与科学学院的外国名誉会员，1823年被选为瑞典皇家科学院外籍院士，很快泊松就赢得了他在科学界的地位。

图3 泊松像

不知道是不是荣誉来的太快不够珍惜，泊松的工作态度也越来越出现了问题，肆无忌惮的处理学者秘密提交到学院供审查和评估的报告，这令傅里叶非常不满，最著名的例子是泊松多次试图阻止Sophie Germain (1776-1831) 获得拿破仑设立的“非凡奖”的候选人资格，该奖项专门为理论解析弹性薄板的克拉尼振动而设立。克拉尼 (Chladni, 1753-1827) 于1787年发表了《声音理论中的发现》，用铺在弹性薄板上的沙子展示了弹性薄板的振动。

图4 克拉尼板振动演示

1816年以后，德国和英国的物理学水平发展很快，英国在电磁学方面领先，而德国在光学和仪器方面领先，这使得泊松感到非常不安。1827年，泊松很可能是在了解到他的好友Cagniard de la Tour有关黄铜的横向变形效应实验后，为了重塑自己在弹性理论中的威望，公开了他对泊松比的研究成果，并将其标记为μ。

设有一根长为a，截面积为b 的杆件，杆件受拉后，a 变为a(1+α)，截面积变为b(1-β)。因此，体积变为ab(1+α-β)（忽略高阶无穷小αβ）。然后，泊松在“微粒-弹簧”模型下，假定固体材料中晶格之间的力可以简化为都通过其中心，这样就可以导出β=α/2，即β/α=1/2。他声称这一结果与Cagniard de la Tour的实验相一致。

1850年，泊松比被应变重新定义为文首开头公式的样子。设所用杆件为圆杆，则有

由此可以导出泊松比的结果为μ=1/4。泊松在发表这一结果时，声称他的结果得到了同事Cagniard de la Tour 的实验验证，但不久Tour 的实验就被人指责太过于粗糙。实际上，Tour 并没有直接测出泊松比，他将黄铜试样放在一个管子底部，一端固定，一端加载，通过观察线（黄铜试样）的长度和水位变化，来推导截面变化，这一实验的误差很大。后来，Wertheim 采用改进方法进行测量时 (1848)，得到结果是1/3而不是1/4。由于剪切模量和弹性模量之间满足关系

利用这一关系也可以通过测量剪切模量和弹性模量来确定泊松比。显然，那个年代测量剪切模量和弹性模量要比直接测量应变要可靠的多。1867年，麦克斯韦总结了人们对多种材料泊松比的测量结果，实验表明黄铜的泊松比为0.387，铁的泊松比为0.294，铜的泊松比在0.226-0.441之间。很显然泊松比并不是一个常数，而是随物质变化的常数。但麦克斯韦并没有打算彻底放弃泊松的1/4比，他认为“当假定弹性是分子通过作用在中心线上的吸引力或排斥力相互作用而产生的，该比率可以是1/4，只要满足每个分子的位移是其在体积内位置的函数”。

随着高精度的测试技术的发展，越来越多的实验证明材料泊松比并不总是1/4，到1870年代，人们逐渐放弃了1/4，而将泊松比视为材料的一种本质属性接受下来。同时，随着连续介质弹性理论模型也取代了“微粒-弹簧”模型下的分子假说，人们也发现了许多新颖的泊松比，例如负泊松比材料，这种材料在一个方向上受拉，另一个方向不仅不减小反而会增加，这为人们在利用自然规律改造世界时提供了无限的遐想。

参考文献
[1] G. Neville Greaves.POISSON’S RATIO OVER TWOCENTURIES: CHALLENGING HYPOTHESES. Notes Rec. R. Soc. (2013) 67, 37–58.
[2] https://matt-hall-m05q.squarespace.com/blog？offset=1464944520341&category=Science
[3] 铁木生可, S.P, 常振檝. 材料力学史[M]. 上海科学技术出版社, 1961.

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。