机械运动之谐振动的合成与分解

莫名其妙

实际的振动问题往往是几个振动的合成。例如，当两列声波同时传到空间某一点时，该点空气质点就同时参与两个振动。根据运动迭加原理，这时质点的运动实际上就是两个振动的合成。

一、一维同频率的谐振动的合成
设一个质点在一条直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，如果以这一直线为x轴，质点的平衡位置为坐标原点，那么，在任一时刻t两个振动的位移分别为

显然，合振动的位移也在x方向上，并且用旋转矢量法来求合位移x。显然，A的投影仍是简谐振动，其角频率和两个分振动的角频率相同。这样，合振动的振动方程即可表示为     

式中A和 分别为合振动的振幅与初相位。根据平行四边形法则可求得   

从中可以看出，合振动的振幅不仅与两个分振动的振幅有关，而且与它们的相位差有关。

二、一维不同频率的谐振动的合成
我们假定两个分振动都是在达到正向最大位置时开始计时，即两个简谐振动的初相都是零，且振幅都一样，于是这两个运动可以用谐振动方程来描述。我们只讨论两个简谐振动的频率之差不大的这种特殊情况，因为两个分振动的频率相差很小，所以这样两个简谐振动的合成起来的合振动的振幅变化的周期T就非常大，即振幅变化非常缓慢。因为振幅的缓慢变化是周期性的，所以振动会出现时强时弱的现象，我们称这种现象为“拍”，其对应的频率就叫做拍频。

拍现象也可以用演示实验演示出来，比如可以选择两个固定频率相差很小的音叉，将这两个音叉相互敲击，就会听到声音时高时低的嗡嗡声，这就是拍音。拍是一种非常重要的现象，它在声学、电磁振荡和无线电技术中都有广泛的应用。比如我们不知道一个钢琴的琴键的音准不准，就可以拿一个标准音的琴键和待校琴键敲击，如果会发出拍音，说明这个待校琴键的音不准；反之如果不会发出拍音，则说明这个待校琴键的音是准确的，也可利用拍现象来测定超声波及无线电波的频率。  

三、二维同频率的谐振动的合成
设一个质点同时参与两个同频率的简谐振动，这两个简谐振动分别在x轴和y轴上进行，运动方程分别为

联立求解这两个方程，消去参量t，可以得到合振动的轨迹方程为

该式是一个椭圆方程，椭圆的形状由振幅A1、A2及相位差决定。

(1)当 时

表明质点的轨迹是通过坐标原点的一条直线，斜率为 。

（2）当 时，

该式是一个以Ox和Oy为轴的椭圆。

当 时，由于y方向的振动比x方向的振动超前，所以质点的运动是顺时针的。

当 时，由于y方向的振动比x方向的振动落后，所以质点沿逆时针方向运动。

当两个分振动的振幅A1=A2时，合振动的运动轨迹是一个圆。

四、二维不同频率的谐振动的合成
如果两个相互垂直的简谐振动的周期成简单的整数比，合运动的轨迹也是稳定的闭合曲线，这样的图形称为李萨如图形。根据李萨如图形，如果已知参与叠加的一个振动的频率，则可定出参与叠加的另一个未知振动的频率。若两个振动的频率已知时，则可利用李萨如图形确定出两个振动的相位关系。这是无线电技术中测定频率和决定相位常用的方法。