云卷云舒的大涡模拟

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明朝的文学家陈继儒在《小窗幽记》中曾写下过著名的诗句“闲看庭前花开花落，静观漫天云卷云舒”来表达超凡脱俗的豁达心境。而在《神雕侠侣》中，金大侠也曾借程英之口说过类似的道理：“三妹，你瞧这些白云聚了又散，散了又聚，人生离合，亦复如斯。你又何必烦恼？”

云卷云舒是人们向往的一种无忧无虑的恬静生活。而国外有一位从事天气研究的大神，却在云卷云舒的天气中看到了另外一种大道至简，于是，便有了今天的大涡模拟。

01、生于1924的约瑟夫
小伙伴们大概还记得：1924年，普朗特提出了混合长度理论，将雷诺平均的N-S方程 (RANS) 从理论推向了工程应用，从此RANS在CFD的百年发展中独领风骚。而同年，一位祖籍白俄罗斯戈梅利的婴儿在纽约降生，此人便是后来提出大涡模拟 (LES) 思想的约瑟夫·斯马戈林斯基 (Joseph Smagorinsky)。

约瑟夫的父亲内森·斯马戈林斯基是第一代的美漂，1913年时为了躲避欧洲的动乱前往纽约谋生。内森从油漆工做起，三年后开了一家油漆店并渐渐站稳了脚跟，约瑟夫的哥哥们也子承父业，在油漆店帮忙。不过约瑟夫从小便展示出对数学和科学极大的兴趣，并且在高中毕业后顺利考入了纽约大学。

不过关于是否支持约瑟夫去上大学这件事情，他们家庭还开了一次会议讨论，幸亏约瑟夫的两位哥哥一致认为约瑟夫上大学很有前途。否则这世界上可能就少了一位伟大的科学家，而多了一个蹩脚的油漆工。

02、与天气的研究结缘
在纽约大学读大二的时候，约瑟夫·斯马戈林斯基 (Joseph Smagorinsky) 由于数学和物理方面的天赋被空军选中，加入了一个精锐的新兵团，并入选了空军的气象项目，和其他新兵一道被送到布朗大学学习数学和物理六个月。随后，他被送到麻省理工学院 (MIT) 学习动力气象学。

在MIT，Smagorinsky遇见了影响他终身的导师埃德·洛伦兹 (Edward Norton Lorenz)。洛伦兹是美国著名的数学家和气象学家，而他最知名的贡献便是创立了现代混沌理论——人人皆知的“蝴蝶效应”便是洛伦兹发现的。正是有了洛伦兹的引导，才有了约瑟夫后来在气象领域的大放异彩。

在当兵期间，Smagorinsky经常以天气观察员的身份，飒爽英姿的坐在轰炸机的机头，根据观测到的气温、风速以及海浪大小等可见因素进行天气预报，这些经历都为约瑟夫在未来成为顶尖的气象学家埋下了伏笔。

脱下军装后，经历短暂的徘徊，约瑟夫又回到纽约大学，师从著名的气象学家，也是当时纽约大学的气象学系主任伯恩哈德·豪尔维茨 (Bernhard Haurwitz)，继续从事气象学方面的研究。博士期间，约瑟夫提出了一个新的理论，解释了中纬度地区由于陆海热力差异，所产生的热源和热汇对急流路径的干扰。

03、终成气象学大家
和普通人比起来，顶级大神最大的特点就是精力和经历都极其丰富。在服役期间，Smagorinsky参加了由著名大气科学家朱尔·查尼 (Jule Charney) 主持的关于天气预报的讲座，并在讲座结束后的问答环节中和查尼展开了激烈的讨论。面对比自己小7岁的天才博士生，查尼立刻邀请Smagorinsky到自己工作的普林斯顿高级研究所访问。

在普林斯顿，查尼领导了一个气象研究小组，Smagorinsky的加入使得他们如虎添翼，他们一起探讨将数字计算机应用于天气预报的可行性，并利用约翰·冯·诺依曼设计的新电子计算机，研究对流层中层大尺度运动的可预测性。

1953年，29岁的Smagorinsky拿到了自己的博士学位，顺利的进入美国气象局，并成为数值天气预报的先驱之一。1955年，在冯·诺依曼的支持下，Smagorinsky在美国气象局下面成立了一个大气环流研究部门。该部门于1963年更名为地球物理流体动力学实验室 (GFDL)，Smagorinsky任首任主任。

该实验室一开始就享誉世界，并聚集了世界各地的科学家。1968年GFDL搬到了现在的普林斯顿大学，Smagorinsky继续领导该实验室，直至1983年退休。他也将毕生的心血倾注于了气象学的数值仿真中，终成一代气象学大家。

04、大涡模拟的思想
正如前一节所说的， Smagorinsky是最早寻求利用数值方法，来延长天气预报时间的研究人员之一。Smagorinsky在1963年发表了一篇开创性的论文，阐述了利用大气动力学的原始方程来模拟大气环流。这篇论文从根本上改变了气候模拟的方法，将早期粗糙的天气模型扩展到包括风、云量、降水量、大气压力以及地球与太阳的辐射等更精确的变量。

为了使这些模拟成为可能，需要一种方法来解释发生在小于模型网格尺度上但仍然在大气能量循环中起关键作用的大气湍流。相信小伙伴们看到这里，已经闻到了大涡模拟的味道。没错，Smagorinsky的这篇文章《General Circulation Experiments with the Primitive Equations》也成为了大涡模拟研究的起点。

作为钢铁直男必备的公众号，此时不推导一下大涡模拟的公式，更待何时？不过推导公式之前，还需要回顾一部分的理论。在前面的文章中我们反复的解释了湍流中的湍动能串级现象：大尺度涡从外界获得能量并输出给小尺度涡；小尺度涡则像一个耗能机械，把湍动能全部耗散为热能；而流体的惯性犹如一个传送机械，把大尺度涡的能量源源不断的输送给小尺度的涡。

面对复杂无序的湍流，人们首先利用雷诺平均的方法把N-S方程进行平均，把非定常的湍流转化为定常问题，而多出来的雷诺应力则用数学模型进行刻画，并逐渐演化为今天我们常用的CFD方法。而RANS方法提出50多年后，科学家们才慢慢地在湍流的无序中发现有序，并总结出规律。1941年，著名的大数学家柯尔莫果洛夫利用统计的思想，通过量纲分析的方法推导了著名的湍流能量谱。

柯大侠的理论也为后来的大涡模拟提供了理论的依据：既然惯性尺度和耗散尺度的涡只承担能量传递和耗散，那么数值求解能否只考虑各向异性的大尺度涡，然后模化或者忽略小尺度的涡呢？答案当然是肯定，否则就不会有今天的大涡模拟了。

05、Smagorinsky模型的推导
当Smagorinsky携带着柯大侠传世的湍流能量谱理论来求解大气湍流的时候，却发现，如果数值计算只考虑各向异性的大涡，仿真的结果和实际会存在很大的差异。通过对于实际气象的观察和数值计算的研究，Smagorinsky敏锐的发现这种差异是现有的网格尺度只能直接求解大于网格尺度的涡系结构，而被忽略的小于网格尺寸的涡仍然会影响流场的结构。

于是，作为半个数学家的Smagorinsky也开始玩起了套路，既然亚格子尺度的涡会影响流场的结构，那就在N-S方程中添加一个亚格子的应力项，代替当前网格解析不了的小尺度涡对流场的影响。

下面的推导基本上就体现了“只要数学功夫深，铁杵磨成针”的道理。首先，亚格子应力可以通过流体应力的本构关系进行展开，展开后的亚格子应力多了一个未知项，即表示亚格子尺度涡的运动粘度。

此处再次用出了“我说我有理”的量纲分析法，运动粘度的单位刚好可以拆成速度和长度的乘积，于是亚格子运动粘度就光明正大的表示成了亚格子涡的特征速度和特征尺度的乘积。其中特征速度又可以通过亚格子涡的速度变化来表示，即可相应的转化成应变率。

于是，我们就得到了亚格子运动粘度的表达式，形式上看起来跟普朗特的混合长度理论简直是有预谋的相似。亚格子应力和运动粘度的推导也不可谓不精妙，可惜还有一个最大的拦路虎，那就是亚格子涡的特征尺度，换句话说，我们需要找到一个长度的量来表示所有比网格小的涡的平均尺寸。

写到这儿，笔者仿佛看到了数学家“坏坏的笑”，数学家首先给这个特征尺度找了一个参考系，那就是网格尺寸，亚格子涡的尺度肯定小于网格尺寸，于是数学家就用一个小于1的系数Cs和网格尺度的乘积来表示亚格子涡的特征尺度。至于这个系数取多少，数学家就留给后人评说了。

大涡模拟的主要思想可以归纳为一种N-S方程的低通滤波，将小于网格尺度的高频湍流脉动滤掉并收集到亚网格模型中，这与RANS方法的涡粘性模型看似形式上有异曲同工之妙，但内涵却完全不同。大涡模拟仍是以时空演化的方式求解湍流，而RANS则直接模化了湍流脉动引起的应力。

06、Lilly的延续
Smagorinsky搭建了大涡模拟的思想，并一路推导到了只剩下一个未知量，即表示亚格子涡的特征尺度和网格尺寸之间的比例系数——Smagorinsky系数。不过在实际的应用中，这个系数究竟如何设置呢？

在Smagorinsky提出大涡模拟思想后的三年，也就是1966年，作为Smagorinsky忠实的拥趸和同事，另一位著名的气象学家Douglas K. Lilly通过引入柯尔莫果洛夫的湍流能量谱对Smagorinsky系数进行了推导。大家可以仔细的看下图中黑板上的公式，刚好就是Lilly在联立柯尔莫果洛夫的-5/3幂率进行方程的求解。

在1966年Lilly发表的经典论文《On the Application of the Eddy Viscosity Concept in the Inertial Sub-range of Turbulence》中，通过联立亚格子粘度系数的公式和柯尔莫果洛夫在1941年提出的充分发展湍流在惯性子区的-5/3幂率，求解了Smagorinsky系数。

不过Lilly的求解过程比较复杂，下图给出了另外一种表达形式，可以看出其中有一个关键参数α，其值 (1.41) 来源于Pond、Stewart和Burling三位学者在1963年发表的经典论文《Turbulence Spectra in the Wind Over Waves》中测试得到的数据。不过小伙伴们看到这个论文题目，大概就能想到Lilly推导的Smagorinsky系数存在一定的局限性。

关于Smagorinsky和Lilly之间亦师亦友的关系以及他们共同为人类气象学，尤其是大气湍流的数值模拟做出的贡献，大概值得单独的写一篇文章。而第一个实用的大涡模拟的湍流模型也由两人的名字共同命名——Smagorinsky-Lilly模型，则是对这对师徒最好的纪念。

来源：LBM与流体力学微信公众号（ID：LBMCFD），作者：卢比与钢蛋。