应力集中问题与有限元

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应力集中是每个工程设计人员都很头疼的事，因为由应力集中产生的局部应力骤增可能引发整个结构的破坏。1954年1月10日，一架英国海外航空公司（BOAC）的“彗星”1型客机（航班编号781号）从意大利罗马起飞飞往目的地英国伦敦。飞机起飞后26分钟，机身在空中解体，坠入地中海。机上所有乘客和机组人员全部遇难。这次事故震惊了全世界，英国成立了专门的调查组调查事故。该型机停飞两个月。由英国海外航空公司总裁保证不会出事后时隔不久，另一架彗星客机也发生了同样的空中解体事故，坠毁在意大利那不勒斯附近海中。在一年的时间里，有3架彗星客机在空中解体坠毁。调查人员认为金属疲劳很可能是造成事故的原因，因此进行了机身表面的张力测试。在找回的残骸上进行了全面的“水刑”测试之后，事故原因终于水落石出。测试结果表明窗户角附近所承受的压力比预期高了非常多，而且机身所承受的压力也比之前实验的和预期的水平高，其原因仅仅是——窗户的形状是正方形。从工程的角度来说，那些尖锐的角叫应力集中点，在Comet坠毁事件中窗户角的点因应力集中，会比其余部分承受约两到三倍的压力，因此很容易断裂开。自这次事故之后，飞机的窗户都变成了圆角。

在构件强度设计中所用的基本公式，一般只适用于等截面的情况。当构件有台阶、沟槽、孔、缺口时，在这些部位的附近，由于截面的急剧变化，将产生局部的高应力，应力峰值远大于由基本公式算得的应力值，这种现象称为应力集中。然而，在距离这些局部区域稍远处，应力便迅速衰减。引起应力集中的台阶、沟槽、孔和缺口等几何形体统称为应力集中因素。值得注意的是，应力集中，绝不是什么由于截面面积减小了一些而应力有所增大，即使截面面积比无孔时只减小了百分之几或千分之几，应力也会集中到若干倍。一般来说，相邻截面的刚度差越大，应力集中程度越严重，存在应力集中的地方，其应力状态和应变状态完全改观。

由于应力线和磁力线在数学方程式上具有相似性，所以，像磁力线那样，可以利用应力线的近似模型来解释物体中几何不连续处的应力与变形情况。把应力线表示为在物体中穿行的一簇曲线，当遇到缺口或孔等几何形体时，它们被迫绕道而行，于是造成各线之间的间距减小，曲线密集，因而在这些地方出现了应力集中。

上图三表示有缺口的板条在拉伸时的局部应力线图。板条无缺口时，其应力分布是均匀的，图中用等距的应力线表示。板条有缺口时，在缺口附近原有的应力状态被打乱，部分应力线不可能再处在原来的位置，只能从缺口周围绕过，因而造成应力线局部密集，即导致应力集中。从图中看出，最密集的应力线在缺口拐角处，故最大应力出现在缺口拐角处，而不是在缺口边缘的中点，其值与拐角的曲率半径 p 有关。

构件截面的骤然变化是产生应力集中的主要原因。除此之外，还有其它一些因素也可能产生应力集中：
①集中力。例如梁的支承点、火车车轮与钢轨的接触点等。
②材料本身的不连续性。钢材中的非金属杂质、铸铁构件中的夹砂与气孔等，会使构件产生高度的应力集中。
③残余应力。构件在制造或装配过程中，由于强拉伸或冷加工而引起的残余应力；由于热处理而引起的残余应力；铸铁与混凝土因收缩而造成的残余应力及焊接加工的残余应力。这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中。
④构件中由于装配、焊接、冷加工，磨削等而产生的裂纹。
⑤构件在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。

应力集中产生的局部最大应力，必须借助于弹性理论、计算力学或者实验应力分析方法求得。在工程上，应力集中的程度用局部最大应力σmax与该截面上的名义应力σnom的比值来表示，即

Ktσ=σmax/σnom

Ktσ称为理论应力集中系数。

下面，我们将通过一个典型应力集中问题——带孔平板，使用ANSYS软件求出最大应力和应力分布图，并与弹性理论计算的结果进行比较：

根据弹性力学知识，孔边环向正应力的大小是无孔时的3倍，随着远离孔边而极速趋近于q。

ANSYS求解：
Step1：在SCDM中创建平面模型。
由于我们使用平面应力模型计算，所以建模时必须要将横截面建立在xy平面上。建立一个边长为20mm×10mm的平面模型，中间孔的直径为2mm。我们将模型分为四部分，方便在每部分的边界上设置Path，从而绘制应力曲线。由于该模型同时关于X轴和Y轴对称，我们也可以使用四分之一模型建模。此处笔者使用完整模型。建立完成以后，使用share命令共享拓扑，然后点击菜单栏Workbench→ANSYS transfer→2020R1进入Workbench。

Step2：设置分析类型（2D）。
在Project Schematic中的空白处点击右键，选择Properties，打开Properties of Project Schematic。单击项目中的A3（Geometry）栏，在Propertiesof Project Schematic A3: Geometry中将AnalysisType切换为2D。（若Analysis Type为3D，则导入平面几何后软件将使用壳单元计算。）双击Model进入Mechanical。

Step3：几何设置。
在结构树中点击Geometry，将Details of Geometry中的2D Behavior切换成Plane Stress（平面应力）。这是平面问题的缺省设置，可以不用管，笔者写出的目的是为了让读者明白这部分操作。

Step4：厚度设置。
平面应力计算需要设置厚度，选中四个Surface，将厚度设置为0.1mm。

Step5：建立Path。
分别以X轴对称轴和Y轴对称轴的一半为边建立两条Path，用来映射应力结果并绘制曲线。

Step6：建立局部坐标系。
我们需要提取Path上的环向正应力，因此我们需要以孔的圆心为原点建立一个柱坐标系。右键Coordinate System→Insert→Coordinate System，建立一个局部坐标系，并将该坐标系重命名为“Cylindrical Coordinate System”，在Details of Coordinate System中，将Definition中的Type设置为Cylindrical，表示建立一个柱坐标系；将Origin中的Define By改为Global Coordinates，表示我们要依据Global Coordinates建立该局部坐标系；其余设置保持默认。

Step7：网格划分。
自由网格划分，网格尺寸设置为0.4mm。由于我们主要想求得孔边应力，可以使用影响球方式只局部加密孔周围的网格，降低计算量。方法：右键Mesh→Sizing，Geometry中选择四个面，然后执行下图设置。

Step8：载荷及约束设置。
1.载荷：一端施加1MPa的轴向拉力（施加pressure时，正值为压力，负值为拉力，所以此处值应为-1MPa，设置pressure的目的是方便与弹性理论计算结果进行对比）；
2.约束：另一端施加固定约束。

Step9：求解及后处理。
求解完成后，我们主要提取该结构的环向正应力，并将该应力映射到Path上。首先，插入Y对称轴上的Normal Stress：我们单击Solution，在Results中选择Stress→Normal Stress，并在Details of Normal Stress将Scoping Method改为Path，并在path中选择建立的“path”。将Origin 设为Y Axis，将Coordinate System设置为Cylindrical Coordinate System。同样的方法，插入X对称轴上的Normal Stress。最后右击Solution（A6），选择Eevaluate All Results，提取结果。

Y轴对称轴上的环向正应力的分布如下图所示：
最大环向正应力为3.1588MPa，与理论计算的3MPa相差很小；随着远离孔边而急剧趋近于1MPa，符合理论计算结果。

X轴对称轴上的环向正应力的分布如下图所示：
最大环向正应力为-1.1256MPa，与理论计算的-1MPa相差也不大（负值表示压应力）；随着远离孔边而急剧趋近于0MPa，符合理论计算结果。


总结：

1.孔边应力集中是局部现象。在几倍孔径以外，应力几乎不受孔的影响，应力的分布情况以及数值的人小都几乎与无孔时相同。一般说来，集中的程度越高，集中的现象越是局部性的，也就是说，应力随着距孔的距离增大而越快地趋近于无孔时的应力。

2.应力集中的程度，与孔的形状有关。一般说来，圆孔孔边的集中程度最低，如果有必要在构件中挖孔或留孔，应尽可能地用圆孔代替其他形状的孔。

3.只有圆孔孔边的应力可以用较为简单的数学工具进行分析，并限定为小孔口问题，若要研究复杂的应力集中问题，目前大都采用有限单元法。

4.由于一般塑性材料存在屈服阶段，当应力集中处的最大应力达到材料的屈服强度时，若继续增加载荷，则其应力不再增加，应变继续增大，所受的载荷将由其余未达到屈服的材料承担。直至整个截面各点处的应力都趋于屈服强度时，材料才因屈服而丧失承载能力。

5.静载荷作用下，塑性材料构建通常不用考虑应力集中影响。对于内部组织均匀脆性材料，应当考虑应力集中的影响；对于内部组织不均匀脆性材料，如铸铁等，结构内部的不均匀和缺陷往往是引起应力集中的重要因素，而结构外形骤变引起的应力集中影响并不明显，因此可不考虑应力集中的影响。动载荷作用下，无论塑性材料还是脆性材料，都应考虑应力集中影响。

6.应力集中对构件的疲劳寿命影响很大，因此无论是脆性材料还是塑性材料的疲劳问题，都必须考虑应力集中的影响。

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