弹性力学问题的求解方法

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我们知道，弹性力学空间问题的基本方程有15个方程，分别为3个平衡方程，6个几何方程和6个物理方程，未知数也是15个，分别为3个位移分量，6个应力分量和6个应变分量。只要求出这15个未知量，就可以解决工程中的强度（依据应力、应变）、刚度（依据应变、位移）和稳定性（临界载荷可由应力给出）。然而，问题在于平衡方程和几何方程为微分方程，这给求解带来了极大的挑战性。

平衡方程：

几何方程：

物理方程：

在力学分析中有一类非常有效的“以退为进” 分析方法，在面对一个非常棘手的问题时，先通过一定的假设将问题简化，先求解简化问题，然后再逐步增加问题的难度，最终达到解决问题的目的。假设有一维弹性力学问题，除σx、εx、u、fx 不为0以外，其它量均为0，此时弹性力学基本方程简化为

平衡方程：

几何方程：

物理方程：

先积分平衡方程，得σx=-fxx+C1，将其代入物理方程，得εx=(-fxx+C1)/E，再将应变代入几何方程，得u=(-fxx2)/2E+(C1x)/E+C2。其中C1、C2为积分常数，需要通过边界条件来确定。

图1 一维弹性力学问题：立柱

设有高为h 的立柱，如图1所示，密度为ρ， 则体力fx=-ρg，下端为固定端，上端受均布载荷q 作用。此时写边界条件，如下：

上端x=h 处：l=1，m=0，

代入应力边界条件，有

在固定端上写位移边界条件，由于位移分量除u 以外，均为0，在边界上有

下端x=0处：u=0（v=0和əv/əx=0自然满足）

代入位移边界条件，有

因此，将常数C1、C2带回解中，得

求解完毕。

在数学中，求解方程组通常可采用消元法，先得到只有一个未知数的方程并求解，然后逐一代回原方程组得到其它未知数。对于一般弹性力学问题，也可以采用消元法，只不过弹性力学方程组很难消元至只含有一个未知量的方程，但消元的思想仍然可以借鉴。

我们把弹性力学未知量分为应力分量、应变分量和位移分量三类，如果将应力和应变都用位移表示，使得方程中只含有位移未知量，达到消元的目的并求解，这种方法称之为位移法；当所有的未知量均由应力分量表示，使得方程中只含有应力未知量，达到消元的目的并求解时，称为应力法。所谓的位移法和应力的关键在于选择位移，还是应力作为未知量。还有些题目，如温度应力，将问题分解为两步求解：第一步不考虑实际边界，只考虑温度引起的变形，采用位移法；第二步，叠加应力，以满足真实的边界条件，采用应力法。这种问题混合使用了位移法和应力法，被称为混合法。

平面问题（包括平面应力问题和平面应变问题）求解在弹性力学中占有重要地位，以下我们以平面应力问题为例，说明二维平面问题的求解。对于平面应力问题，有

弹性力学基本方程简化为

平衡方程：

几何方程：

物理方程

下面分别讨论利用位移法和应力法求解上述平面应力问题的方程组。对于平面应变问题，只需要将弹性常数E 变换为外E/1-μ2，将μ 转换为μ/1-μ。

位移法

位移法的目标是将所有的未知量由位移分量表示，观察方程组发现：几何方程中，应变分量已经由位移分量给出，而物理方程描述的是应变与应力之间的关系，先将物理方程变形为用应变表示应力的形式，有

将几何方程代入上式有

现在应力分量也由位移分量表出，将上式代入平衡方程，得

上式为用位移表示的平衡方程。现在可以看出, 上式中含有u 和v 两个未知量，共两个方程， 理论上可以求解。但是很多力学家验证，直接求解上述方程组的难度很大，多数情况下需要采用有限差分、有限元等数值方法进行求解。

这里，我们仍然以图1所示的一维问题为例, 来说明位移法的求解过程。对于一维问题，上式中，有可产土v=fy=ə/əy=0，一维问题不考虑横向效应，μ=0，因此用位移表示的平衡方程简化为

对上式积分两次，得

其中，fx=-ρg，C1 和C2 为积分常数，需要通过边界条件确定。从题设可知，x=0处为位移边界条件u=0，将上式代入，得C2=0。

在x=h 处为应力边界条件。应力边界条件公式为

将下式代入上式表示的边界条件

得

这里可以看出，应力边界条件实际上可以转化为位移边界条件。具体到本问题，考虑v=fy=ə/əy=0，且l=1，m=0。上式变为

依据

得əu/əx=(ρg/E)x+C1，将其代入边界条件式

得

将C1 和C2 代回式

得

获得位移分量后，通过几何方程，得到应变分量εx=(ρgx-q-ρgh)/E，再利用物理方程得到应力分量σx=ρgx-q-ρgh，与下式表示的解完全一致。

应力法

下面我们来考虑如何利用应力法求解二维弹性力学问题，目标为将所有未知量都用应力表示，即所有方程中，不再出现应变分量和位移分量。依然考虑平面应力状态下的基本方程，如下所示

平衡方程：

几何方程：

物理方程

其中，平衡方程中只含有应力分量，无需过多关注。下面重点来看几何方程和物理方程。首先看几何方程，从方程形式看，2个位移分量决定了3个应变分量，那么3个应变分量之间很可能不完全独立，那么它们应该满足什么关系呢？为了说明3个分量之间的关系，我们进行如下推导：

请关注最后导出来的式(11)，这个式子把三个应变分量写在同一个方程中，明确无误的表明了 3个应变分量并非完全独立，它们就像一条绳上的3个蚂蚱，只要有一个变动，另外的两个也可能跟着发生变动。3个应变分量满足的这一关系称为变形协调方程（或相容方程），这一关系最早由圣维南于1864年导出，1866 年，贝尔特拉米（Eugenio Beltrami, 1835-1900.意大利著名数学家）对其进行了严格证明。变形协调方程说明了真实弹性体发生变形时需要满足的条件，即某一点的应变分量满足上式时才是真实的，如果不满足上式, 对于真实的弹性体，很可能发生了断裂、质点堆叠等不可预估的情形，超出了弹性力学的研 究范畴。

再回到平面问题基本方程，如果将物理方程代 入变形协调方程，就可以得到用应力表示的变形协调方程，有

现在已经看到，几何方程和物理方程已经化为 上式,完全由应力分量给出，与平衡方程

一起组成方程组，3个方程（2个平衡方程+1 变形协调方程）求解3个未知量（σx、σy、τxy），为封闭方程组。继续沿着消元的思想，利用平衡方程，还可以将变形协调方程中的τxy消去， 我们进行如下推导

上式为考虑了平衡方程的相容方程，只要找到上式的解，就可以利用平衡方程，求出τxy，再依据物理方程，求出应变分量，最后依据几何方程，求出位移分量。

如果仍考虑图1所示的一维问题，仍有v=fy=ə/əy=0，以及μ=0，上式将简化为

由于，fx=-ρg为常数，为ə2/əx2，积分后有

代入物理方程，得

再代入几何方程，有

考虑固定端位移边界条件，有

还有两个未知数C1 和C2，但是顶部应力边界 条件只能写出一个方程，需要再补充一个应力边界条件。为此，考虑固定端，去掉约束后, 下端约束反力为ρgh+q 如

图2 固定端等效为面力

以下写应力边界条件：

上端：

下端：

联列两个应力边界条件，得

代入应力、应变、位移表达式，得

利用应力法求解也与前面的解一致。

平面问题的求解在弹性力学中占有非常重要的地位，是弹性力学的重点内容。本文虽然推导了二维平面问题应力法和位移法的基本方程，但所具例子均为一维问题，没有真正涉及二维问题的求解，目的在于理解力法和位移法的求解过程。实际上，二维问题的求解难度要远远大于一维问题，时至今日，利用位移解析法求解二维问题的例子仍然很少（位移法以数值解法求解为主，很多商用软件都用位移法求解）。应力解析法求解随着艾力应力函数（Airystress function）逐渐成为二维问题求解的主要方法，下周介绍一下应力函数法如何求解真正的二维弹性力学问题。

参考文献：
徐芝纶. 《弹性力学》(第5版). 高等教育出版社

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。